求 $\sin\frac{\pi}{5}$ 的值.

\[
\sin^2\frac{\pi}{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}
\]

$a^{\frac{m}{n}}$ 的定义, 这里 $a\in\mathbb{R}$.

\[a^{\frac{m}{n}}:=(a^{\frac{1}{n}})^m,\qquad a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^m}\]

当 $a < 0$ 时, $a^{\frac{m}{n}}$ 不一定是实数, 而是形如 $c+id$ 的复数. 例如: $(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}=i$.

Perron-Frobenius 定理

证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

1.  设 $m,n\in\mathbb{R}$, 已知 $(m+\sqrt{m^2+1})(n+\sqrt{n^2+1})=1$, 证明 $m+n=0$.

2. 解方程组

\[
\begin{cases}
x^3+y^3=5,\\
x^2+y^2=3.
\end{cases}
\]

设 $a+b+c=x$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$, 这里 $x > 0$. 若 $k$ 是正的奇数, 用 $x$ 表示

\[\frac{1}{a^{k}}+\frac{1}{b^{k}}+\frac{1}{c^{k}}.\]

当 $x=2022$, $k=2023$ 时, 即为网上的一道题目. 

参考 [1]

References:

[1] 越南全国高中数学竞赛试题_哔哩哔哩_bilibili

1.  设 $f(x)=ax^2+bx+c$, $(b > a)$. 且对于任意 $x\in\mathbb{R}$, $f(x)\geqslant 0$ 恒成立.

求 $\dfrac{a+b+c}{b-a}$ 的最小值.

2.  设 $\alpha\neq k\pi$, $k$ 为整数.  求 $\sin^2\alpha+\frac{4}{\sin\alpha}$ 的局部最大值和局部最小值.

设实数 $a,b,c$ 满足 $a\sqrt{c} > 2b > 0$, 求

\[
a^2+\frac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt{c}-2b)}+\frac{c^3+c+2}{2(c^2+1)}
\]

的最小值.

另外, 证明该式可以趋向 $+\infty$.