用 $\cos x$ 表示 $\cos 2x$, $\cos 4x$, $\cos 6x$.

\[
\cos 2x=2\cos^2 x-1,
\]

\[
\cos 4x=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1,
\]

\[
\cos 6x=32\cos^6 x-48\cos^4 x+18\cos^2 x-1.
\]

考虑首项系数为 1 的四次代数方程

\[
y^4+ay^3+by^2+cy+d=0.
\]

与三次方程类似, 令 $y=x-\frac{a}{4}$, 可化为下列不含次高阶的代数方程

\[
x^4+px^2+qx+r=0.
\]

笛卡尔(R. Descartes, 1596--1650)在1637年提出了下面的方法. 令

\[
x^4+px^2+qx+r=(x^2+kx+\ell)(x^2+nx+m).
\]

>> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)
in> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)

out> x^4+(n+k)x^3+(m+k*n+l)x^2+(k*m+l*n)x^1+l*m
------------------------

比较两边 $x^3, x^2, x$ 各项的系数以及常数项, 得

\[
\begin{cases}
n+k=0,\\
m+kn+\ell=p,\\
km+\ell n=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

由第一个方程 $n=-k$, 代入其他三个方程, 得

\[
\begin{cases}
m-k^2+\ell=p,\\
k(m-\ell)=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

参考自 [1]

References

[1] 冯承天,  从一元一次方程到伽罗瓦理论.

求 $\sin\frac{\pi}{5}$ 的值.

\[
\sin^2\frac{\pi}{5}=\frac{5-\sqrt{5}}{8}
\]

$a^{\frac{m}{n}}$ 的定义, 这里 $a\in\mathbb{R}$.

\[a^{\frac{m}{n}}:=(a^{\frac{1}{n}})^m,\qquad a^{\frac{m}{n}}:=\sqrt[n]{a^m}\]

当 $a < 0$ 时, $a^{\frac{m}{n}}$ 不一定是实数, 而是形如 $c+id$ 的复数. 例如: $(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}=i$.

Perron-Frobenius 定理

证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

证明: $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ 对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 且 $n > 1$ 都是无理数.

1.  设 $m,n\in\mathbb{R}$, 已知 $(m+\sqrt{m^2+1})(n+\sqrt{n^2+1})=1$, 证明 $m+n=0$.

2. 解方程组

\[
\begin{cases}
x^3+y^3=5,\\
x^2+y^2=3.
\end{cases}
\]

设 $a+b+c=x$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}$, 这里 $x > 0$. 若 $k$ 是正的奇数, 用 $x$ 表示

\[\frac{1}{a^{k}}+\frac{1}{b^{k}}+\frac{1}{c^{k}}.\]

当 $x=2022$, $k=2023$ 时, 即为网上的一道题目. 

参考 [1]

References:

[1] 越南全国高中数学竞赛试题_哔哩哔哩_bilibili

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