设实数 $a,b,c$ 满足 $a\sqrt{c} > 2b > 0$, 求

\[
a^2+\frac{4(c^2+1)}{b(a\sqrt{c}-2b)}+\frac{c^3+c+2}{2(c^2+1)}
\]

的最小值.

另外, 证明该式可以趋向 $+\infty$.

将 $y^3+ay^2+by+c=0$ 化为 $x^3+ax+b=0$ 的形式.

[分析], 要将 $y^2$ 项去掉, 只需令 $y=x+p$. 这里利用了 $y^3=(x+p)^3$ 的展开式, 展开式中有 $x^2$ 项, 只需与后面的 $ax^2$ 抵消即可. 为此, 可推出 $p=-\frac{a}{3}$.

References:

冯承天, 《从一元一次方程到伽罗瓦理论》   华东师范大学出版社.

我们知道一个关于x的最箭多项式A0x^n+A1x^(n-1)+……+An-1x+An在实数范围内最多存在n个因式，但有时因式少于n个，其存在一些不可约的多次式，有时这个多项式不可约。那么，如何判断一个这样的多项式是否可以因式分解，因式有几项以及几项多次因式？

永田雅宜（日语：ながた まさよし，1927年2月9日－2008年8月27日），日本数学家。京都大学名誉教授，理学博士

http://en.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka

广中平祐，日本数学家，出生于日本山口县。日本学士院会员。1970年由于其在代数几何上的成就获得菲尔兹奖。 其夫人为曾任日本环境厅长官的广中和歌子。

小平邦彦（1915年3月16日－1997年7月26日）是日本数学家，长野县出身。以在代数几何和紧复解析曲面理论方面的出色工作而著名。他也是代数几何日本流派的奠基人，也是20世纪数学界的代表人物之一。他在1954年获得菲尔兹奖，是获此荣誉的首位日本人。他也是为数不多的同获菲尔兹奖和沃尔夫奖的数学家之一。

References:

http://zh.wikipedia.org/wiki/小平邦彥

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Ref. Erhan Ata and Yusuf Yayli, Dual unitary matrices and unit dual quaternions. DGDS(Differential Geometry - Dynamical System), Vol. 10, 2008, pp.1-12.

四元数是指集合

\[
\mathbb{H}=\{a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k\mid a_i\in\mathbb{R}, i=0,1,2,3\}
\]

中的元素. $\mathbb{H}$ 是一个 4 维实线性空间. $\{1,i,j,k\}$ 是 $\mathbb{H}$ 的一个基(一般称为一组基).

若在 $\mathbb{H}$ 中引入上面的乘法, 即

\[i^2=j^2=k^2=-1,\quad ij=k=-ji,\]

则 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 成为一个代数. (容易验证 $jk=i=-kj$, $ki=j=-ik$, $ijk=-1$.) 而且 $(\mathbb{H},+,\cdot,1)$ 还是一个结合代数, 并且关于乘法不可交换.

Remark: 有时, 也用符号 $e_0,e_1,e_2,e_3$ 分别代替 $1,i,j,k$. 因为 $i$ 用于表示 $\sqrt{-1}\in\mathbb{C}$.

为方便起见, 引入记号. 设 $p$ 是一个四元数, $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k=s_p+V_p$, 其中 $s_p=a_0$, $V_p=a_1 i+ a_2 j+a_3 k$. 我们姑且分别称 $s_p$, $V_p$ 为 $p$ 的数量部分和向量部分. 于是, 对任意的 $p,q\in\mathbb{H}$, 及任意的 $\lambda\in\mathbb{R}$,

\[p+q=(s_p+V_p)+(s_q+V_q)=(s_p+s_q)+(V_p+V_q)=s_{p+q}+V_{p+q},\]

\[\lambda p=\lambda s_p+\lambda V_p=s_{\lambda p}+V_{\lambda p}.\]

$\mathbb{H}$ 作为通常的向量空间, 亦可引入内积的概念. 设 $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k$, $q=b_0+b_1 i+ b_2 j+b_3 k$, 则定义

\[
\langle p,q\rangle :=a_0 b_0+a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3.
\]

于是 $\langle p,q\rangle=s_p s_q+\langle V_p,V_q\rangle$.

记 $p=a_0+a_1 i+ a_2 j+a_3 k=s_p+V_p$ 的共轭为 $p^+=a_0-a_1 i- a_2 j-a_3 k=s_p-V_p$.

Claim.  $(pq)^{+}=q^{+}p^{+}$.

设有 $n$ 个实数 $a_i,i=1,2,\ldots,n$. 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 且 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=b$.

证明: 对于任意 $i$, 有

\[a_i^2\leq\frac{n-1}{n}b\]