问题及解答

将 $y^3+ay^2+by+c=0$ 化为 $x^3+ax+b=0$ 的形式.

[分析], 要将 $y^2$ 项去掉, 只需令 $y=x+p$. 这里利用了 $y^3=(x+p)^3$ 的展开式, 展开式中有 $x^2$ 项, 只需与后面的 $ax^2$ 抵消即可. 为此, 可推出 $p=-\frac{a}{3}$.

References:

冯承天, 《从一元一次方程到伽罗瓦理论》   华东师范大学出版社.

令 $y=x-\frac{a}{3}$, 则

\[
\begin{split}
y^3&=(x-\frac{a}{3})^3\\
&=x^3-3x^2\cdot\frac{a}{3}+3x\cdot(\frac{a}{3})^2-(\frac{a}{3})^3\\
&=x^3-ax^2+\frac{a^2}{3}x-\frac{a^3}{27}
\end{split}
\]

\[
y^2=(x-\frac{a}{3})^2=x^2-\frac{2a}{3}x+\frac{a^2}{9}
\]

因此

\[
\begin{split}
&y^3+ay^2+by+c\\
=&x^3-ax^2+\frac{a^2}{3}x-\frac{a^3}{27}+a(x^2-\frac{2a}{3}x+\frac{a^2}{9})+b(x-\frac{a}{3})+c\\
=&x^3+(\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{3}+b)x+(c-\frac{a^3}{27}+\frac{a^3}{9}-\frac{ab}{3})\\
=&x^3+(b-\frac{a^2}{3})x+(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)\\
\end{split}
\]