问题及解答

考虑首项系数为 1 的四次代数方程

\[
y^4+ay^3+by^2+cy+d=0.
\]

与三次方程类似, 令 $y=x-\frac{a}{4}$, 可化为下列不含次高阶的代数方程

\[
x^4+px^2+qx+r=0.
\]

笛卡尔(R. Descartes, 1596--1650)在1637年提出了下面的方法. 令

\[
x^4+px^2+qx+r=(x^2+kx+\ell)(x^2+nx+m).
\]

>> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)
in> (x^2+kx+l)*(x^2+nx+m)

out> x^4+(n+k)x^3+(m+k*n+l)x^2+(k*m+l*n)x^1+l*m
------------------------

比较两边 $x^3, x^2, x$ 各项的系数以及常数项, 得

\[
\begin{cases}
n+k=0,\\
m+kn+\ell=p,\\
km+\ell n=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

由第一个方程 $n=-k$, 代入其他三个方程, 得

\[
\begin{cases}
m-k^2+\ell=p,\\
k(m-\ell)=q,\\
\ell m=r.
\end{cases}
\]

参考自 [1]

References

[1] 冯承天,  从一元一次方程到伽罗瓦理论.

>> (x-a/4)^4+a*(x-a/4)^3+b*(x-a/4)^2+c*(x-a/4)+d
in> (x-a/4)^4+a*(x-a/4)^3+b*(x-a/4)^2+c*(x-a/4)+d

out> x*x*x*x-x*x*x*a/4-x*x*a/4*x+x*x*a/4*a/4-x*a/4*x*x+x*a/4*x*a/4+x*a/4*a/4*x-x*a/4*a/4*a/4-a/4*x*x*x+a/4*x*x*a/4+a/4*x*a/4*x-a/4*x*a/4*a/4+a/4*a/4*x*x-a/4*a/4*x*a/4-a/4*a/4*a/4*x+a/4*a/4*a/4*a/4+a*x*x*x-a*x*x*a/4-a*x*a/4*x+a*x*a/4*a/4-a*a/4*x*x+a*a/4*x*a/4+a*a/4*a/4*x-a*a/4*a/4*a/4+b*x*x-b*x*a/4-b*a/4*x+b*a/4*a/4+c*x-c*a/4+d
------------------------

in> x*x*x*x-x*x*x*a/4-x*x*a/4*x+x*x*a/4*a/4-x*a/4*x*x+x*a/4*x*a/4+x*a/4*a/4*x-x*a/4*a/4*a/4-a/4*x*x*x+a/4*x*x*a/4+a/4*x*a/4*x-a/4*x*a/4*a/4+a/4*a/4*x*x-a/4*a/4*x*a/4-a/4*a/4*a/4*x+a/4*a/4*a/4*a/4+a*x*x*x-a*x*x*a/4-a*x*a/4*x+a*x*a/4*a/4-a*a/4*x*x+a*a/4*x*a/4+a*a/4*a/4*x-a*a/4*a/4*a/4+b*x*x-b*x*a/4-b*a/4*x+b*a/4*a/4+c*x-c*a/4+d

out> x^4+(4*(4*(-4*a-4*a)-16*a)-64*a+256*a)|256x^3+(4*(4*(4*(1048576*a*a+1048576*a*a+1048576*a*a+1048576*a*a+1048576*a*a+1048576*a*a)-16777216*a*a)-67108864*a*a)-268435456*a*a+1073741824*b)|1073741824x^2+(4*(4*(262144*(64*(-64*a*a*a-64*a*a*a)-4096*a*a*a)-1073741824*a*a*a+4294967296*a*a*a+4294967296*a*a*a+4294967296*a*a*a)-68719476736*b*a)-274877906944*b*a+1099511627776*c)|1099511627776x^1+(4*(1024*a*a*a*a-4096*a*a*a*a+16384*b*a*a)-262144*c*a+1048576*d)|1048576
------------------------

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