问题

Riemann-Hurwitz 关系定理

设 $M$, $N$ 是两个紧致黎曼曲面,  $f:\ M\rightarrow N$ 是非常值的全纯映射. 设 $M$ 的亏格为 $g$, $N$ 的亏格为 $\gamma$. 且假设 $f$ 是 $n$ 阶的(即, 对于几乎所有的 $Q\in N$, $f^{-1}(Q)$ 的基数为 $n$).  若记

\[
B=\sum_{P\in M}b_f(P),
\]

被称为 $M$ 的总分歧数(total branching number). 则有如下的 Riemann-Hurwitz 关系式

\[
g=n(\gamma-1)+1+\frac{B}{2}.
\]

回顾,  $b_f(P)$ 是指全纯映射 $f$ 在点 $P$ 处的分歧数, 在局部坐标系下, $f$ 在 $P$ 附近可以表示为 $z\mapsto z^n$, 当 $n > 1$ 时, $f$ 就被称为分歧映射, 分歧数定义为 $n-1$.

推论 1.  总分歧数 $B$ 一定是偶数.

推论 2.  假设 $f$ 是无分歧映射(unramified). 则

• 若 $g=0$, 则 $n=1$ 且 $\gamma=0$.
• 若 $g=1$, 则 $\gamma=1$, $n$ 可取任意值.
• 若 $g > 1$, 则当 $n=1$ 时, $g=\gamma$; 当 $n > 1$ 时, $g >\gamma > 1$, 并且 $n$ 整除 $g-1$.

推论 3.  若 $1\leqslant g=\gamma$, 则要么 (a) $n=1$, $B=0$; 要么 (b) $g=1$, $B=0$.

References:

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra,  Riemann Surfaces, 2nd edition.  GTM 71.