问题及解答

Riemann-Hurwitz 关系定理

设 $M$, $N$ 是两个紧致黎曼曲面,  $f:\ M\rightarrow N$ 是非常值的全纯映射. 设 $M$ 的亏格为 $g$, $N$ 的亏格为 $\gamma$. 且假设 $f$ 是 $n$ 阶的(即, 对于几乎所有的 $Q\in N$, $f^{-1}(Q)$ 的基数为 $n$).  若记

\[
B=\sum_{P\in M}b_f(P),
\]

被称为 $M$ 的总分歧数(total branching number). 则有如下的 Riemann-Hurwitz 关系式

\[
g=n(\gamma-1)+1+\frac{B}{2}.
\]

回顾,  $b_f(P)$ 是指全纯映射 $f$ 在点 $P$ 处的分歧数, 在局部坐标系下, $f$ 在 $P$ 附近可以表示为 $z\mapsto z^n$, 当 $n > 1$ 时, $f$ 就被称为分歧映射, 分歧数定义为 $n-1$.

推论 1.  总分歧数 $B$ 一定是偶数.

推论 2.  假设 $f$ 是无分歧映射(unramified). 则

• 若 $g=0$, 则 $n=1$ 且 $\gamma=0$.
• 若 $g=1$, 则 $\gamma=1$, $n$ 可取任意值.
• 若 $g > 1$, 则当 $n=1$ 时, $g=\gamma$; 当 $n > 1$ 时, $g >\gamma > 1$, 并且 $n$ 整除 $g-1$.

推论 3.  若 $1\leqslant g=\gamma$, 则要么 (a) $n=1$, $B=0$; 要么 (b) $g=1$, $B=0$.

References:

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra,  Riemann Surfaces, 2nd edition.  GTM 71.

令 $S=\{f(x)\ :\ x\in M, b_f(x) > 0\}$. 由于 $S$ 是一个有限集, 我们可以将 $N$ 三角剖分, 使得 $S$ 中的每个点成为三角剖分中的一个顶点. 假设这样的一个三角剖分具有 $F$ 个面、$E$ 条边和 $V$ 个顶点. 通过映射 $f$ 将此三角剖分提升到 $M$.  $M$ 上的这个由 $f$ 诱导的三角剖分具有 $nF$ 个面、$nE$ 条边, 以及 $nV-B$ 个顶点.  

根据 Euler-Poincaré 公式,

\begin{align}
F-E+V=2-2\gamma,\quad(1)\\
nF-nE+nV-B=2-2g,\quad(2)
\end{align}

$(2)-(1)\cdot n$ 得

\[
-B=2-2g-n(2-2\gamma)\quad\Rightarrow\quad 1-g=n(1-\gamma)-\frac{B}{2},
\]

即有

\[
g=n(\gamma-1)+1+\frac{B}{2}.
\]

推论 1. 显然.

推论 2.  $f$ 是无分歧的, 故 $B=0$.  于是 $g=n(\gamma-1)+1$. 

• 当 $g=0$ 时, $n(\gamma-1)+1=0$. 而 $\gamma\geqslant 0$, 故 $\gamma=0$, $n=1$.
• 若 $g=1$, 则 $n(\gamma-1)=0$.  注意 $n > 0$, 因此 $\gamma=1$, $n$ 可取任意大于 $1$ 的正整数.
• 若 $g > 1$, 此时 $n(\gamma-1)=g-1 > 0$. 当 $n=1$ 时, $g=\gamma$;  当 $n > 1$ 时, $g > \gamma$, 且 $n$ 整除 $g-1$.

推论 3.  若 $g=0$, 则 $n(\gamma-1)+1+\frac{B}{2}=0$. 注意到 $\gamma\geqslant 0$, 这推出 $\gamma=0$.

若 $1\leqslant g=\gamma$, 则 

\[
\begin{split}
&g=n(g-1)+1+\frac{B}{2}\\
\Rightarrow\ & 0=(n-1)(g-1)+\frac{B}{2},
\end{split}
\]

由于 $g\geqslant 1$, 故推出 $(n-1)(g-1)=0$ 且 $\frac{B}{2}=0$.  因此, 要么 (a) $n=1$, $B=0$; 要么 (b) $g=1$, $B=0$.