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几何 >> 复几何
Questions in category: 复几何 (Complex Geometry).

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1

Hilbert Nullstellensatz Theorem(希尔伯特零点定理)

Posted by haifeng on 2017-04-13 23:02:26 last update 2017-04-13 23:02:26 | Answers (1) | 收藏

定理[Hilbert Nullstellensatz Theorem(希尔伯特零点定理)]

设 $I$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 中的任意一个理想, 则有 $\sqrt{I}=\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$.

 

这里, $\mathrm{loc}(I)$ 是理想 $I$ 的零点集合, 而 $\mathrm{id}\mathrm{loc}(I)$ 是指由 $\mathrm{loc}(I)$ 生成的理想. (这些基本概念参见问题1941)

根理想 $\sqrt{I}$ 定义为

\[
\sqrt{I}=\{f\in{}_n\mathcal{O}_0\mid \exists\ k\in\mathbb{Z}^+,\ \text{s.t.}\  f^k\in I\}.
\]

2

Noether 环中的真理想可以表示为有限个准素理想的交.

Posted by haifeng on 2017-04-13 20:41:37 last update 2017-04-13 20:41:37 | Answers (1) | 收藏

设 $R$ 是一个 Noether 环, $Q$ 是 $R$ 的一个真理想(proper ideal), 则存在有限多个准素理想(primary ideal) $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$, 使得

\[
I=Q_1\cap Q_2\cap\ldots\cap Q_k.
\]

3

Noether 环中的真理想可以表示为有限多个准素理想的交.

Posted by guest on 2017-04-13 20:39:16 last update 2017-04-13 20:39:16 | Edit | Answers (0) | 收藏

[Lem] 设 $R$ 是一个 Noether 环, $I$ 是 $R$ 中的真理想, 则存在有限多个准素理想 $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$, 使得

\[
I=Q_1\cap Q_2\cap\ldots\cap Q_k.
\]

4

与 ${}_n\mathcal{O}_0$ 有关的一些概念

Posted by haifeng on 2017-04-13 19:20:23 last update 2017-04-13 20:14:28 | Answers (0) | 收藏

设 $I\subset{}_n\mathcal{O}_0$, 记 $\mathrm{loc}(f)=\{x\mid f(x)=0\}$,

$\mathrm{loc}(I)=\{x\mid f(x)=0,\ \forall\ f\in I\}$.

定义. 设 $X,Y$ 是 $\mathbb{C}^n$ 中的两个集合, 若存在原点 $0$ 的开邻域 $U\subset\mathbb{C}^n$, 使得 $U\cap X=U\cap Y$, 则称 $X$ 和 $Y$ 在 $0$ 处等价, 记作 $X\sim Y$.

 

 

定义. 设 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, $\mathbb{X}$ 是集合 $X$ 的芽. 称 $f$ 在 $X$ 上为零($f$ is vanishing on $X$), 如果存在 $0\in\mathbb{C}^n$ 的一个开邻域 $U$, 使得 $U\cap X\subset\mathrm{loc}(f)$.

\[
\mathrm{id}X:=\{f\in{}_n\mathcal{O}_0\mid f \text{ is vanishing on }X\}
\]

 

 

定义. (准素理想 primary ideal) 设 $R$ 是一个诺特环(Nother ring), $Q$ 是 $R$ 的一个真理想. 若满足

\[
a,b\in R,\quad ab\in Q\Rightarrow a\in Q\ \text{or}\ b^k\in Q,
\]

则我们称 $Q$ 是一个准素理想. (注意这里诺特环是交换环.)

5

${}_n\mathcal{O}_0$ 是诺特环.

Posted by haifeng on 2017-03-30 21:57:15 last update 2017-03-30 21:57:15 | Answers (1) | 收藏

${}_n\mathcal{O}_0$ 是诺特环.

6

${}_n\mathcal{O}_0$ 是一个唯一分解整环.

Posted by haifeng on 2017-03-30 21:02:03 last update 2017-03-30 21:02:40 | Answers (1) | 收藏

${}_n\mathcal{O}_0$ 是一个唯一分解整环.

7

Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 在 ${}_n\mathcal{O}_0$ 上是可约的当且仅当它在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 上是可约的.

Posted by haifeng on 2017-03-30 20:10:14 last update 2017-03-30 20:10:14 | Answers (1) | 收藏

Lemma. Weierstrass 多项式 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 在 ${}_n\mathcal{O}_0$ 上是可约的当且仅当它在 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 上是可约的.

8

[Def]可约全纯函数

Posted by haifeng on 2017-03-30 19:47:29 last update 2017-03-30 19:50:01 | Answers (0) | 收藏

设 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, 称 $f$ 是可约的(reducible), 如果 $f$ 可以写成 $f=g_1 g_2$, 其中 $g_1$ 和 $g_2$ 都是非单位元(non unit of ${}_n\mathcal{O}_0$), 即 $g_1(0)=g_2(0)=0$.

 

特别的, 如果 $f\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$, 称 $f$ 是可约的(reducible), 如果 $f$ 可以写成 $f=g_1 g_2$, 其中 $g_1$ 和 $g_2$ 都是非单位元(non unit of ${}_n\mathcal{O}_0[z_n]$), 即 $g_1(0)=g_2(0)=0$.

9

设 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 是 $k$ 阶 Weierstrass 多项式

Posted by haifeng on 2017-03-30 18:56:08 last update 2017-03-30 19:00:02 | Answers (1) | 收藏

设 $h\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 是 $k$ 阶 Weierstrass 多项式, 则对任意 $f\in{}_n\mathcal{O}_0$, 有

\[
f=gh+r,\quad g\in{}_n\mathcal{O}_0,\quad r\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]
\]

其中 $r$ 是阶数小于等于 $k-1$ 的关于 $z_n$ 的多项式.

10

6维球面上是否存在复结构

Posted by haifeng on 2016-10-31 23:25:37 last update 2016-11-06 17:03:43 | Answers (1) | 收藏

MICHAEL ATIYAH 于今天2016年10月31日在 arxiv.org 上传了一篇文章,证明了6维球面上不存在复结构。(这里仅是翻译以及个人理解.)

详见 https://arxiv.org/abs/1610.09366

The Non-Existent Complex 6-Sphere

Michael Atiyah

(Submitted on 25 Oct 2016)

The possible existence of a complex structure on the 6-sphere has been a famous unsolved problem for over 60 years. In that time many ``solutions'' have been put forward, in both directions. Mistakes have always been found. In this paper I present a short proof of the non-existence, based on ideas developed, but not fully exploited, over 50 years ago.
Subjects: Differential Geometry (math.DG)
MSC classes: 53A55, 53B15
Cite as: arXiv:1610.09366 [math.DG]
  (or arXiv:1610.09366v1 [math.DG] for this version)

Submission history

From: Michael Atiyah [view email]
[v1] Tue, 25 Oct 2016 05:07:15 GMT (7kb)

https://arxiv.org/pdf/1610.09366v1.pdf

 


 

注: 以下是 v1 版本的翻译.

 

6维球面上不存在复结构

Michael Atiyah

Dedicated to S.S.Chern, Jim Simons and Nigel Hitchin

 

摘要.

6 维球面上是否存在一个复结构这个问题作为一个著名的未解决问题已经有60余年的历史.  那时提出了许多解决办法, 然总能够找到一些错误. 本文我将给出(关于复结构)不存在性的一个简短证明, 这是基于50年前已经被发展了的但未被充分利用的思想.

 


1. 介绍: 此问题之历史

 

2 维球面 $S^2$ 可以等同于复射影直线这一事实已被知晓了数个世纪. 高维时我们有两类流形:

a) $2n$-维球面 $S^{2n}$,

b) 复射影空间 $P_n(\mathbb{C})$.

 

对于 $n > 1$, 两者具有十分不同的拓扑, 因此不能被等同. 仍有可能的是 $2n$ 维球面有一个与 $P_n(\mathbb{C})$ 之复结构十分不同的复结构. 但如果是这样, $S^{2n}$ 就不能具有 Kähler 度量.


在五十年代早期, 拓扑学前进了一大步, 利用 Steenrod squares, 是有可能消除除 $n=3$ 之外的值的, 也就是 6-维球. 这已经证明是一个十分困难的问题, 将最优秀的几何学家在这方面的坚定努力一直拒之门外, 最近的如陈省身(S. S. Chern), 他在他生命的最后一年, 在这个问题上做了一些实质性的进展. 关于此问题以及陈的工作的一个优秀的论述已经由 Bryant 所撰写[3].


$S^6$ 这个问题之所以看上去如此艰难的原因是 $S^6$ 上有一个众所周知的近复结构 $J(0)$.  当将 $S^6$ 视为虚八元数组成的 7-维空间中的单位球时, 这个近复结构可以认为来自于八元数(octonions). 不过 $J(0)$ 这个近复结构不是可积的, 即是说算子 $\bar{\partial}$ 的平方不为零(${\bar{\partial}}^2\neq 0$). 这个纯代数事实归根到底来源于八元数的非结合性.


标准的拓扑学看上去似乎无法确定 $S^6$ 是否具有额外的可积的近复结构 $J$. 拓扑学家的军械库中看上去没有什么可以利用的, 值得注意的是, 我们没有 Kähler 度量, 而这是复结构通过 Hodge 理论导致拓扑的通常的做法. 看来很清楚一些基本的新方法是必须的, 但是我们将首先回顾一下1950 年代的标准理论,  which sets the context.


1953年, 在 Cornell 的一个会议上, Hirzebruch [15] 列出了几何中许多重要的问题. 这其中的许多问题已经在接下来的十年间被解决了, 值得注意的是它们回绕着 Hirzebruch Riemann-Roch 定理 HRR. 重大的一步是由 Atiyah-Singer 作出的指标定理 [8], 它将舞台从射影代数几何迁移至微分几何. 特别地, 对于复解析流形, 对于 Kähler 流形的限制被去掉了. 它的重要性很快被 Kodaira 认识到, 随后 Kodaira 能够完成紧致复曲面(包括非 Kähler 曲面, 如 $S^1\times S^3$)的粗糙分类.


在 HRR 之后不久, 代数几何中的一个重大突破时由 Grothendieck [14] 给出的, 他引入了 K-理论. 这启发了 Atiyah-Hirzebruch [6] 基于关于酉群的 Bott 周期性定理[12]去发展拓扑上类似的东西, and this K-theory replaced cohomology as the natural home of index theory. 现在对于正交群和辛群, Bott 周期性有相应的结果, 分别以 8 为周期和以 4 为“半周期”(semi-period). 这也可以应用到 spin 流形. This naturally tied up with index theory over the reals [10] where the fundamental operator is the Dirac operator and the mod 2 invariants appeared as the mod 2 dimensions of the null spaces of skew-adjoint operators [9].

指标是整数, 它们可以通过陈类(Chern classes)作为有理上同调或积分来计算. 模 2 不变量更难以捉摸, 除了在低维时, 那时它们来自于第一和第二 Stiefel-Whitney 类. 然而, 有了 KO-理论, 模 2 不变量可以很有效地处理.


让我们首先重新检查指标理论在对非 K\"{a}hler 复流形给出 HRR 证明上的成功, 它取决于下述事实:

1.1 全纯欧拉示性数(算术亏格)使用了层上同调的 integer grading, 而指标(index)仅使用了 K-理论的 parity(等价).

1.2 当我们将 Dolbeault 复形替换为一个椭圆算子 $D$, 它定义为 $\bar{\partial}$ 加上自身关于任意一个正的 Hermitian 度量的对偶, 即 $D=\bar{\partial}+\bar{\partial}^*$. $DD^*$ 不保持 grading 这一事实是无关紧要的. 它可以在不影响椭圆性的前提下变形.

1.3 于是 index 仅使用了近复结构, 并且我们得到了 Todd 亏格的可积性.

1.4 类似地, 利用合适维数中的一个 spin 结构, 获取 KO 模 2 指标, 其定义为 Dirac 算子的零空间的模 2 维数. 举个例子, 在 2 维时, KO(spin) 模 2 指标可追溯到 Riemann, 在 [2] 中有研究.

1.5 在 6 维时的另一个例子来源于 3 维复投影空间上的秩为 2 的丛. 此时的模 2 不变量在 [7] 中有研究.

最后回顾 Atiyah-Singer 理论并未使用任何特定的度量, 它使用任一个辅助的黎曼度量以导出椭圆算子. 于是它的主要定理独立于度量, 并断言分析指标等于拓扑指标. 这既可应用于整数又可应用于模 2 不变量. 因此, 在整个这个领域, 没有必要区分分析和拓扑. 这提供了一个新的工具, 到目前为止只有 Kodaira 充分利用了此工具的威力.

在模 2 上下文中, 我们正是将利用这个工具来对付 $S^6$ 问题. K-理论的所需要的版本是 KR 理论, 这些在 [1] 中被详细发展了的, 其主要特征将在下一节中被回顾. 动机来自于实的代数几何与实的微分算子.

 


 

2. KR 理论

 

KR 理论是为具有对合(involution)映射的流形所定义的. 这个对合如代数几何中的那样被称为共轭. 它有一个双指标记号 $(p,q)$, 基于 signature 为 $(p,q)$ 的二次型的 Clifford 代数. 这里共轭是指改变 $q$ 个分量的符号. Suspension is given by taking the KR-theory with compact supports of the product with $\mathbb{R}(p,q)$. 这 $q$ 个变量给出了标准的 suspension, 而这 $p$ 个变量给出了一个 twisted suspension, in that conjugation multiplies by $-1$ in the fibre.

复数域 $\mathbb{C}$ 有它标准的共轭, 故 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(1,1)$. $KR(1,1)$ 有一个自然的生成元 $b$, Bott 周期定理现在断言, 与 $b$ 的张量积给出了同构
\[
KR(p,q)\cong KR(p+1,q+1).
\]
这个同构对任何具有对合映射的空间都成立, 可以推广到等变情形, 是一个十分强大的定理, 尽管看上去很简单. 这表明, 在典范同构的意义下, $KR(p,q)$ 仅依赖于 $s=p-q$, 并且关于 $s$ 是周期的, 周期是 8. 如果我们在正交(orthogonal)和辛(symplectic)之间切换的话, 以 4 为半周期.

应用到基空间是一个点, 且 $(p,q)=(7,1)$ 的情形, 我们得到一个同构
\[
KSp(\mathbb{R}^6)\rightarrow KR^{(7,1)}(\text{point})=\mathbb{Z}/2.
\]

左边是由 Bott 所确定的稳定同伦群. 右边由 Clifford 模的代数给出. 如 [3] 中所述, 此同态是一个自然同态.

左边恰是 $S^6$ 的约化 $KS_p$, 且其元素或是 even 的或是 odd 的(见第三节). 它们在同构之下的像分别是 $0$ 或 $1$.

从复的 K-理论到 KR 理论有自然的 forgetful 映射. 在 6 维时, 整数映为 0. 故 $S^6$ 上的一个假设的复结构将给出一个偶元素(even element). 但我们知道近复结构 $J(0)$ 是奇类型的, 并且 {\bf 最重要的是我们知道是偶(even)类型还是奇(odd)类型是一个拓扑性质}, 所有近复结构都遵循这个性质(见第 3 节). 故矛盾, 因此我们证明了

 

定理 2.1 在 $6$ 维球面上没有复结构.


\noindent {\bf 评论}

1. 非平凡部分的证明(上文黑体字)基于 Atiyah-Singer 指标定理. Kodaira 平行地应用了 Atiyah-Singer 指标定理.

2. 由于我们的不变量是一个模 2 指标, 我们必须使用 KR 理论(KR理论的设计即为此目标).

3. 隐藏在 KR 理论技术细节中的是, 模 2 不变量实际上是一个带有非平凡“奇”元素的模 4 不变量, 是严格 4 阶的(而非 2 阶). 在实领域工作的代数几何学者知道要区分 $i$ 和 $-i$, 尽管我们可以区分 $1$ 和 $-1$. 由于有 Atiyah-Singer 理论, 这也可以应用到拓扑中(Serre's GAGA 的一个更强的形式).

4. 对于 Kodaira 所需要的非 K\"{a}hler 复曲面, 自然度量不是 K\"{a}hler 的而是具有 signature $(2,2)$. 在我们的情形, 自然的 8 维流形不是 signature 为 $(8,0)$ 的八元数空间, 但它的相当于 Minkowski (counterpart)的部分具有 signature $(7,1)$. 于是 6 维球面自然地作为光锥的基. 这可以与标准的 signature 为 $(3,1)$ 的 Minkowski 空间作比较, 那里孰知 2 维球面是光锥的基, 但有一个重要的区别. 四元数是可结合的, 但八元数不是(这是一个纯代数的问题, 与 signature 无关). 这解释了为何 2 维球面上的自然的近复结构是可积的, 而 6 维球面上的近复结构是不可积的.

5. 注意到这个定理是整体上的结论, 局部的, 在刺破的球面上, 是不对的. 这个定理必须来源于某种整体“上同调”阻碍. 事实上, 正如我们已经看到的, 这个上同调是 KR 理论.


关于近复结构有一些微妙的东西隐藏在 note 5 的背景和 KR 理论的细节中. 这些值得在后续章节中作单独处理.

 


3. 近复结构

 

让我们从检查 6 维球面上由八元数所诱导的近复结构 $J(0)$ 作为开始. 我们是采用 Euclidean signature 还是 Minkowski signature, 这都 immaterial. 但是我们更喜欢使用 signature 为 $(7,1)$ 的 Minkowski 空间. 事实上, 我们不只有由一个近复结构(ACS: almost complex structure), 而是两个互为共轭的近复结构. 正如在 note 3 中, 我们无法区分来自同一个实的近复结构的这对共轭近复结构. 局部地, 如果我们将 $S^6$ 在某点刺穿, 我们可以区分它们, 称它们为 $+$ 和 $-$, 但是这种区分并不是整体的. 在拓扑上有两种可能性, 要么区分是整体的(the "even" case)并且跨越刺穿点, 要么它不是整体的(即 the "odd" case).


我们处在 even 情形还是 odd 情形一般地取决于情形. 对于 6 维球面, Minkowski 空间 $\mathbb{R}(7,1)$ 中光锥(light cone) 的基, 我们处于 odd 情形, 但是对于 signature $(5,3)$ 或对偶的 signature $(3,5)$, 6 维球面被换为复射影 3 维空间 $P$ 或它的对偶 $P^*$, 实的 ACS(近复结构) 是可积的, 并且我们处于 even 情形. 这只是线性代数并且很容易验证.(需要详细写出并验证一下.)


所涉及的线性代数确切地讲是指 signature 为 $(7,1)$ 的旋量群(spinor group) 的 triality 变换, 以及相应 signature 为 $(5,3)$ 和 $(3,5)$ 的旋量群的 triality 变换.


由于 Atiyah-Singer 理论, 线性代数获得了拓扑意义, 而这体现在 KR 理论中.


我们的定理现在可以重新解释为, 在 6 维球面上, 任意 ACS(近复结构)是奇类型的(odd type). 因此不存在偶类型(even type)的实的ACS(近复结构). 一个可积的复结构将定义一个偶类型的实的近复结构(a real ACS of even type), 因此不存在. 可积性条件本质上被替换为一个等价的拓扑条件. 对于 6 维球面的这种正是我们想要的, 因为没有局部上的阻碍, 我们需要在合适的理论中找一个整体上的上同调障碍. 这个理论就是 KR 理论. 关于 6 维球面的问题的一个简短历史参加第 4 节.

 

 


 

4. 该问题的历史

 

Ehresmann 1947: 引入了近复结构这一概念并证明了 6-维球面具有一个近复结构, 但明确指出他不知道 $S^6$ 上是否有一个复结构.

 

Hopf 1947: 证明了 $S^4$ 和 $S^8$ 上不具有近复结构.

 

Kirchhoff 1947: 利用八元数在 $S^6$ 上构造了一个明确的近复结构.

 

Eckmann-Frohlicher 和 Ehresmann-Liberman 1951: 独立地证明了 Kirchhoff 构造的 $S^6$ 上的近复结构不是可积的, 而变成一个复结构.

 

Borel 和 Serre 1953: 证明了 $S^{2n}$ 上具有一个近复结构当且仅当 $n=1$ 或 $3$.

 

Hirzebruch 1954 和 Liberman 1955: 作备注: 仍不清楚 $S^6$ 上是否具有一个复结构.

 


 

致谢

 

我衷心感谢许多同事给予我的帮助、建议和批评. 首先是"四人帮"中的三个“火枪手”, Bott, Hirzebruch 和 Singer. 然后是 Jim Simons, 这篇文章是在庆祝他获得爱丁堡大学(University of Edinburgh)荣誉学位时写的. 作为奖励, 第一版草稿完成于 2016 年 7 月 4 日. Dennis Sullivan 和 Claude Lebrun 表示一些健康和富有成果的怀疑. 我的年轻同事, Nigel Hitchin 和 Jürgen Berndt, 提供了专业知识和建设性批评. Robert Bryant 对该问题了解深刻 [13], 他不断地逼我前进, 来自 Blaine Lawson 的支持, 迫使我澄清我的论述. 最后是我的助理教授 Andrew Ranicki, 他总在我左右, 加速我的前进.

 


 

参考文献

 

[1] M.F. Atiyah. K-theory and reality. Quart. J. Math., Oxford (2), 17 (1966), 367-86.
[2] M.F. Atiyah. Riemann surfaces and spin structures. Ann. Sci. école Norm Sup. 4 (1971), 47-62.
[3] M.F. Atiyah, R. Bott and A. Shapiro. Clifford Modules. Topology 3 (Suppl. 1) (1964), 3-38.
[4] M.F. Atiyah and R. Bott. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes II : Applications. Ann. of Math. 88 (1968) 451-91
[5] M.F. Atiyah and F. Hirzebruch. Quelques théorèmes de non-plongement pour les variétés differentiables. Bull.Soc. Math. France 87 (1959), 383-96.
[6] M.F. Atiyah and F.Hirzebruch. Riemann-Roch theorems for differentiable manifolds. Bull.Am.Math.Soc. 65 (1959), 276-81.
[7] M.F. Atiyah and E. Rees. Vector bundles on projective 3-space. Invent. Math. 35 (1976), 131-153.
[8] M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators on compact manifolds. Bull.Am.Math.Soc. 69 (1963), 422-33.
[9] M.F. Atiyah and I.M. Singer. Index theory for skew-adjoint Fredholm operators. Publ. Math. Institut des Hautes études Scientifiques, 37 (1969), 305-26.
[10] M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators IV, Ann. of Math. 93 (1971), 119-38.
[11] M.F. Atiyah and I.M. Singer. The index of elliptic operators V, Ann. of Math. 93 (1971), 139-49.
[12] R.Bott. The stable homotopy of the classical groups, Ann.of.Math 70 (1959) 313-337.
[13] R.Bryant, S.S. Chern’s study of almost-complex structures on the six-sphere, arXiv 1405.3405
[14] A. Grothendieck, Classes de faisceaux et th´eor`eme de Riemann Roch (1957), published in Theorie des reductions et théorème de Riemann-Roch SGA 6, Springer Lecture Notes 225. (1971)
[15] F. Hirzebruch, Some problems on differentiable and complex manifolds. Ann. of Math. (2) 60, (1954). 213236.

 


Trinity College, Cambridge and the University of Edinburgh


E-mail address: M.Atiyah@ed.ac.uk

Current address:

School of Mathematics
University of Edinburgh
James Clerk Maxwell Building
Peter Guthrie Tait Road
Edinburgh EH9 3FD
Scotland, UK

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