问题及解答

${}_n\mathcal{O}_0$ 是诺特环.

(用归纳法证明)

(1) $n=0$ 时, ${}_0\mathcal{O}_0=\mathbb{C}$ 是一个域, 域是平凡的诺特环.

(2) 假设命题对 $n-1$ 成立, 即 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0$ 是一个诺特环. 根据 Hilbert 基定理(Hilbert Basis Theorem), 可知 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 是一个诺特环.

任取一个非平凡的真理想 $A\subset{}_n\mathcal{O}_0$, 设 $0\neq g\in A$, $g$ 关于 $z_n$ 是正则的(即 $g$ 关于 $z_n$ 不恒等于零).  由于 $A$ 是真理想, 故 $g$ 不是单位元. 根据 Weierstrass 预备定理(Weierstrass preparation theorem), 可以进一步假设 $g\in A\cap{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$. 

注意两个理想的交仍是一个理想, 因此 $A\cap{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 也是 ${}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$ 的理想. 于是根据 Noether 环的定义, 存在 $g_1,g_2,\ldots,g_k\in A\cap{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$, 使得

\[
A\cap{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]=\langle\{g_1,g_2,\ldots,g_k\}\rangle
\]

Claim. $A=\langle\{g,g_1,g_2,\ldots,g_k\}\rangle$.

Pf of Claim. 任取 $f\in A$, 根据 Weierstrass division theorem, $f=gh+r$, 注意这里 $g$ 是多项式, $r\in{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]$. 由于 $g\in A$, $A$ 是 ${}_n\mathcal{O}_0$ 的理想, 故 $gh\in A$, 加上 $f\in A$, 得 $r\in A$. 因此 $r\in A\cap{}_{n-1}\mathcal{O}_0[z_n]=\langle\{g_1,g_2,\ldots,g_k\}\rangle$. 故 $r=h_1g_1+\cdots+h_kg_k$. 从而 $f=gh+h_1g_1+\cdots+h_kg_k$.