Riemann-Hurwitz 关系定理

设 $M$, $N$ 是两个紧致黎曼曲面,  $f:\ M\rightarrow N$ 是非常值的全纯映射. 设 $M$ 的亏格为 $g$, $N$ 的亏格为 $\gamma$. 且假设 $f$ 是 $n$ 阶的(即, 对于几乎所有的 $Q\in N$, $f^{-1}(Q)$ 的基数为 $n$).  若记

\[
B=\sum_{P\in M}b_f(P),
\]

被称为 $M$ 的总分歧数(total branching number). 则有如下的 Riemann-Hurwitz 关系式

\[
g=n(\gamma-1)+1+\frac{B}{2}.
\]

回顾,  $b_f(P)$ 是指全纯映射 $f$ 在点 $P$ 处的分歧数, 在局部坐标系下, $f$ 在 $P$ 附近可以表示为 $z\mapsto z^n$, 当 $n > 1$ 时, $f$ 就被称为分歧映射, 分歧数定义为 $n-1$.

推论 1.  总分歧数 $B$ 一定是偶数.

推论 2.  假设 $f$ 是无分歧映射(unramified). 则

• 若 $g=0$, 则 $n=1$ 且 $\gamma=0$.
• 若 $g=1$, 则 $\gamma=1$, $n$ 可取任意值.
• 若 $g > 1$, 则当 $n=1$ 时, $g=\gamma$; 当 $n > 1$ 时, $g >\gamma > 1$, 并且 $n$ 整除 $g-1$.

推论 3.  若 $1\leqslant g=\gamma$, 则要么 (a) $n=1$, $B=0$; 要么 (b) $g=1$, $B=0$.

References:

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra,  Riemann Surfaces, 2nd edition.  GTM 71.

[命题] 紧致黎曼曲面之间的每个非常值全纯映射都是有限层(分歧)覆盖映射.

Every non-constant holomorphic mapping between compact Riemann surfaces is a finite-sheeted (ramified) covering map.

见 [1] pp.15 Example.

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra,  Riemann Surfaces, 2nd edition.  GTM 71.

[Lem] 设 $X$ 是一个开的黎曼流形, $K$ 是 $X$ 的紧集. 任取 $x_0\in K$, 则存在 $X$ 上的全纯函数 $h$, 使得

$|h(x_0)| < \delta$, 且对 $\forall\ x\in K$,  $|h(x)-1| < \delta$.

参见[1]

[1]  R. C. Gunning, Raghavan Narasimhan,  Immersion of Open Riemann Surfaces.

GTM71 (即[1]) P.4 中有句话 "Functions cannot be integrated on Riemann surfaces." 

翻译过来是:  函数在黎曼曲面上无法积分. 为什么?

然后, 为了寻找在黎曼曲面上可以积分的对象, 自然地考虑到微分形式.

讨论亚纯函数在黎曼曲面上的积分

calculus - Integrating on a Riemann surface - Mathematics Stack Exchange

[1]  Hershel M. Farkas, Irwin Kra, Riemann Surfaces, second edtion.

单值化定理即单连通黎曼曲面的分类定理.

黎曼曲面有双曲型、椭圆型和抛物型.

紧致黎曼曲面被称为椭圆型.

存在非常值有界次调和函数的黎曼曲面称为双曲型.

既非双曲型又非椭圆型的黎曼曲面称为抛物型.

证明单值化定理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射. 而调和函数的存在性是通过经典的Perron 方法获得的.

  定理. 单连通的双曲型黎曼曲面必定全纯同构于复平面上的单位圆盘 $\mathbb{D}$.

  定理.  单连通的非双曲型黎曼曲面必与 $\mathbb{S}$ 或 $\mathbb{C}$ 同构.
 

  参见[1]

References:

[1] 梅加强 著《黎曼曲面讲义》

设 $f:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为全纯函数, 且 $|f(z)|\leqslant |z|^{3/2}$, $\forall\ z\in\mathbb{C}$, 证明 $f$ 恒为 0.

题目见 [1] 习题 1.1 第一题.

[1] 梅加强 著 《黎曼曲面导引》

定理. (Schwarz 引理)  设 $f$ 是从单位圆盘 $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}\mid |z| < 1\}$ 到自身的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则

(i)  $|f'(0)|\leqslant 1$;

(ii)  $|f(z)|\leqslant |z|$, $\forall\ z\in\mathbb{D}$, 

且等号成立时, 存在某个实数 $\theta$, 使得

\[f(z)=e^{i\theta}z,\quad\forall\ z\in\mathbb{D}.\]

一个自然的推论是对于不同半径圆盘之间的全纯函数 $f$, 如果映中心到中心, 则 $f$ 在中心的导数的模被这两个半径之比控制. 具体的:

推论.

(1)  设 $f: B_R(0)\rightarrow B_r(0)$ 是从半径为 $R$ 的圆盘到半径为 $r$ 的圆盘的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $|f'(0)|\leqslant\frac{r}{R}$.

(2)  设 $f: B_R(0)\rightarrow\mathbb{C}$ 为有界全纯函数, 则

\[|f'(0)|\leqslant\frac{2}{R}\sup|f|.\]

(3) (Liouville 定理) 设 $f:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为有界全纯函数, 则 $f$ 为常值函数.

Q. 以上考虑都是圆盘到圆盘或者圆盘到复平面或者复平面到复平面, 当定义域为正方形或其他形状时, 会有怎样的结论?

应用 Schwarz 引理还可以求出单位圆盘 $\mathbb{D}$ 的全纯自同构群 ($\mathrm{Aut}(\mathbb{D})$).

注. 

1. 由 Schwarz 引理可立即得到单位圆盘 $\mathbb{D}$ 的全纯自同构群.

2.  Gromov-Schwarz 引理 是该引理在紧致厄密特(Hermite)流形上的推广.

参考自[1], [2]

[1]  梅加强 著 《黎曼曲面导引》 

[2]  龚昇 编著 《简明复分析》

可数个复平面挖掉一条射线, 然后逐个粘合构成一个螺旋状的曲面, 这是 $\sqrt{z}$ 的最大定义域.   这是 Riemann 的观点.

Exercise1:  证明复平面上无法定义 $\sqrt{z}$.

Exercise2:  若 $f(x,y)\in C^\infty(\mathbb{R}^2)$, 且 $f(0,0)=0$, 是否存在 $g,h\in C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$, 使得

\[f(x,y)=x\cdot g(x,y)+y\cdot h(x,y)\]

Exercise3:  若 $f(z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(z)$ 可写为 $f(z)=z\cdot g(z)$, 这里 $g(z)$ 也是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数.

References:

梅加强,  《黎曼曲面》

【南京大学】梅加强《黎曼曲面简介》_哔哩哔哩_bilibili

http://video.chaoxing.com/cxvideo/play/page?sid=108445&d=6502e6a82a3dc368c0b7fcb6fe0b633d&cid=123

设 $D\subset\mathbb{C}$ 为开集, $f: D\rightarrow\mathbb{C}$ 为复函数, $z_0\in D$. 若极限

\[
\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\]

存在(且有限), 则称 $f$ 在 $z_0$ 处可导, 并称此极限值为 $f$ 在 $z_0$ 处的导数, 记为 $f'(z_0)$.

如果 $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ 在 $D$ 中任何一点处均可导, 则称 $f$ 为 $D$ 中的全纯函数, 或称 $f$ 在 $D$ 内全纯.

记 $f$ 的实部和虚部分别为 $u$, $v$, 即 $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$. 则 $f$ 为全纯函数的充分必要条件是 $u,v$ 满足下面的 Cauchy-Riemann 方程(柯西-黎曼方程):

\[
\begin{cases}
u_x=v_y,\\
u_y=-v_x.
\end{cases}
\]

$f(z)$ 在 $z_0$ 全纯也等价于

\[\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\biggr|_{z=z_0}=0\].

说明为何有

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}),\\
\frac{\partial}{\partial\bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}).
\end{aligned}
\]

Remark:

若 $f'(z)$ 存在, 则 $f^{(n)}(z)$ 都存在, $n\in\mathbb{N}$. 也就是说, 若 $f(z)$ 全纯, 则它任意阶可导.

References:

梅加强, 《黎曼曲面导引》, 北京大学出版社, 2013年.

黎曼球面上的亚纯函数必为有理函数.