对于下面的函数 $f(x)$, 求 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$.
函数 $f(x)$ 定义为
\[
f(x)=\begin{cases}
c\int_{\max\{0,x-1\}}^{x}ye^{-y}\mathrm{d}y, & x\geqslant 0,\\
0, & x < 0.
\end{cases}
\]
这里 $c$ 是正常数. 并且 $f(x)$ 满足 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$.
求 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\mathrm{d}x$ 的值.
Remark:
题目来源于浙江大学某老师布置的题目.