问题

Prop 1. 设 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个随机变量, $c_i$ 是常数, $i=1,2,\ldots,n$. 则期望满足线性性质:

\[
E(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i E(X_i).
\]

若用 $\mu(X)$ 表示随机变量的期望, 则可写为

\[
\mu(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i \mu(X_i).
\]

Prop 2. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个互相独立的随机变量, 则有

\[
E(XY)=E(X)E(Y)
\]

这个性质可以推广到 $n$ 个互相独立的随机变量的情形:

Cor 3. 若 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量, 则

\[
E(X_1 X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n).
\]

或写为

\[
\mu(X_1 X_2\cdots X_n)=\mu(X_1)\mu(X_2)\cdots\mu(X_n).
\]

or

\[
\mu(\prod_{i=1}^{n}X_i)=\prod_{i=1}^{n}\mu(X_i).
\]
 

Note:

Prop 2 的逆命题不成立. 请举出反例.