问题及解答

Prop 1. 设 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个随机变量, $c_i$ 是常数, $i=1,2,\ldots,n$. 则期望满足线性性质:

\[
E(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i E(X_i).
\]

若用 $\mu(X)$ 表示随机变量的期望, 则可写为

\[
\mu(\sum_{i=1}^{n}c_i X_i)=\sum_{i=1}^{n}c_i \mu(X_i).
\]

Prop 2. 设 $X$ 和 $Y$ 是两个互相独立的随机变量, 则有

\[
E(XY)=E(X)E(Y)
\]

这个性质可以推广到 $n$ 个互相独立的随机变量的情形:

Cor 3. 若 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 是 $n$ 个相互独立的随机变量, 则

\[
E(X_1 X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n).
\]

或写为

\[
\mu(X_1 X_2\cdots X_n)=\mu(X_1)\mu(X_2)\cdots\mu(X_n).
\]

or

\[
\mu(\prod_{i=1}^{n}X_i)=\prod_{i=1}^{n}\mu(X_i).
\]
 

Note:

Prop 2 的逆命题不成立. 请举出反例.

Prop 2 的反例:

设 $X\sim N(0,1)$, $Y=X^2$. 显然 $X,Y$ 不是互相独立的.  但是可以验证 $\mu(XY)=\mu(X)\mu(Y)$ 成立.

首先, $X$ 服从标准正态分布, 从而 $\mu(X)=0$. 其PDF为

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},\quad x\in\mathbb{R}.
\]

\[
\mu(Y)=\mu(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.
\]

\[
\mu(XY)=\mu(X^3)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^3 f(x)dx=0,
\]

这是因为 $f(x)$ 是偶函数. 因此 $\mu(XY)=\mu(X)\mu(Y)$ 成立, 即 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 成立.

Prop 2 的证明.

由于 $X,Y$ 相互独立, 故二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数 (PDF) 与边缘概率密度函数之间存在关系式:

\[
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).
\]

从而

\[
\begin{split}
E(XY)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xyf(x,y)dxdy\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xy f_X(x)f_Y(y)dxdy\\
&=\biggl[\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx\biggr]\biggl[\int_{-\infty}^{+\infty}yf_Y(y)dy\biggr]\\
&=E(X)E(Y).
\end{split}
\]