问题

设当 $x\in[a,b]$ 时, $f(x)\in[a,b]$. 且 $|f(x)-f(y)|\leqslant k|x-y|$, $0 < k < 1$.

证明: (1) 存在唯一的 $x_0\in[a,b]$, 使得 $f(x_0)=x_0$.
         (2) 若 $x_1\in[a,b]$, $x_{n+1}=f(x_n)$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0$.

Remark:

一般的压缩映像原理请参见问题1107