问题

求积分

\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin nx}{\sin x}dx.
\]

Hint:

当 $n=2k-1$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分等于 $\frac{\pi}{2}$. 这个证明在 问题1388 的证明 中出现过; 即特别的有

\[
\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}dx=\frac{\pi}{2}.
\]

当 $n=2k$, $(k\geqslant 1)$ 时, 积分的值与 $\frac{\pi}{2}$ 有关 (事实上当 $k\rightarrow+\infty$ 时, 极限为 $\frac{\pi}{2}$), 证明是类似的.