Questions in category: 解析数论 (Analytic Number Theory)
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1. Виноградов 定理

Posted by haifeng on 2021-08-02 10:58:14 last update 2021-08-02 10:58:14 | Answers (0) | 收藏


用 $r(N)$ 表示一奇数 $N$ 表成三个素数之和的表法种数, 则有
\[
r(N)=\int_{0}^{1}\bigl(S(\alpha)\bigr)^3\cdot e^{-2\pi iN\alpha}\mathrm{d}\alpha,
\]

此处
\[
S(\alpha)=\sum_{p\leqslant N}e^{2\pi i\alpha p},
\]
$p$ 经过 $\leqslant N$ 的全体素数.
 

 

 

参考 [1] P. 277


References:

[1] 华罗庚 著,  王元  审校  《华罗庚文集》数论卷 I

2. 基本引理证明(Mordell)中的一个恒等式

Posted by haifeng on 2021-07-19 16:17:06 last update 2021-07-19 16:18:04 | Answers (1) | 收藏


[1] P.15 当 $\ell=1$ 时基本引理的证明(Mordell)中, 有下面这个恒等式

 

\[
\begin{split}
&\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}\biggl|\sum_{x=1}^{p}e_p(a_k x^k+\cdots+a_1 x)\biggr|^{2k}\\
=&\sum_{x_1}\cdots\sum_{x_k}\sum_{y_1}\cdots\sum_{y_k}\sum_{a_k}\cdots\sum_{a_1}e_p\bigl(a_k(x_1^k+\cdots+x_k^k-y_1^k-\cdots-y_k^k)+\cdots+a_1(x_1+\cdots+x_k-y_1-\cdots-y_k)\bigr)\\
=&p^k N,
\end{split}
\]

 

 


References:

[1] 华罗庚 著, 王元  审校  《华罗庚文集》(数论卷I)

3. $x_1^h+\cdots+x_k^h\equiv y_1^h+\cdots+y_k^h\pmod p$

Posted by haifeng on 2021-07-18 18:51:18 last update 2021-07-18 21:28:45 | Answers (0) | 收藏


\[x_1^h+\cdots+x_k^h\equiv y_1^h+\cdots+y_k^h\pmod{p}, \quad\ 1\leqslant h\leqslant k, 1\leqslant x,y\leqslant p\tag{1}\]

可推出

\[
(x-x_1)\cdots(x-x_k)\equiv(x-y_1)\cdots(x-y_k)\pmod p\tag{2}
\]


 

[Hint] 只需将 $(x-x_1)\cdots(x-x_k)$ 展开, 这是 $x$ 的 $k$ 次多项式, $x^h$ 前的系数是关于 $x_1,\ldots,x_k$ 的对称多项式.

 

 

参见[1] P.15


References:

[1] 华罗庚 著, 王元  审校  《华罗庚文集》(数论卷I)

4. 证明下面的公式

Posted by haifeng on 2021-07-17 08:27:45 last update 2021-07-17 08:28:37 | Answers (1) | 收藏


\[
\sum_{x=1}^{q}e_q(hx)=\begin{cases}
q, &\text{若}\ q\mid h,\\
0, &\text{若}\ q\nmid h.
\end{cases}
\]

 

参考 [1] P.15


References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

5. 三角和 $\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}$ 的估计

Posted by haifeng on 2021-07-14 10:23:01 last update 2021-07-14 11:01:45 | Answers (1) | 收藏


定理.  设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的一个 $k$ 次整系数多项式, 

\[f(x)=a_k x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1 x+a_0.\]

若 $(a_k,a_{k-1},\ldots,a_1,q)=1$, 则

\[
\biggl|\sum_{x=1}^{q}e^{2\pi i f(x)/q}\biggr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

此处 $\varepsilon$ 是任一正数.

 

若记 $e_q(f(x))=e^{2\pi i f(x)/q}$, 及 

\[
S(q,f(x)):=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)),
\]

则定理可表述为:

Thm. 任给 $\varepsilon > 0$, 存在依赖于 $k$ 及 $\varepsilon$ 的正常数 $c_1(k,\varepsilon)$, 使得三角和 $S(q,f(x))$ 有如下估计

\[
\bigl|S(q,f(x))\bigr|\leqslant c_1(k,\varepsilon)\cdot q^{1-\frac{1}{k}+\varepsilon}
\]

 

 


参考 [1] P. 13, 第一章 定理1.


References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

6. [基本引理] $S(p^{\ell},f(x))$ 的估计

Posted by haifeng on 2021-07-14 09:38:29 last update 2021-07-20 21:51:17 | Answers (1) | 收藏


记 $S(q,f(x))=\sum_{i=1}^{q}e_q(f(x))$, 其中 $e_q(f(x))=e^{2\pi i\frac{f(x)}{q}}$.  (参见问题2787, 2788)

 

基本引理

引理.  若 $p\nmid (a_k,\ldots,a_1)$, 则

\[
|S(p^{\ell},f(x))|\leqslant c_2(k)p^{\ell (1-\frac{1}{k})}
\]

 

 


References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

7. $e^{2\pi i x/q}$ 在格点上求和的公式

Posted by haifeng on 2021-07-13 22:43:51 last update 2021-07-14 10:31:17 | Answers (2) | 收藏


$e^{2\pi i x/q}$ 在格点上求和的公式.

在阅读这个引理之前, 请先阅读问题2787 .


设 $f(x)$ 是关于 $x$ 的 $k$ 次整系数多项式, 记

\[
S(q,f(x))=\sum_{x=1}^{q}e_q(f(x)).
\]

引理. 若 $(q_1, q_2)=1$ 及 $f(0)=0$, 则

\[
S(q_1 q_2,f(x))=S(q_1,\frac{f(q_2 x)}{q_2})\cdot S(q_2,\frac{f(q_1 x)}{q_1})
\]

 

 

此为 [1, P.14] 中引理 1.3


推论.  若 $q=p_1^{\ell_1}p_2^{\ell_2}\cdots p_s^{\ell_s}$, 这里 $p_1,p_2,\ldots,p_s$ 为 $q$ 的 $v(q)=s$ 个不同素因子. 则

\[
S(q,f(x))=\prod_{i=1}^{s}S(p_i^{\ell_i},\frac{f(qx/p_i^{\ell_i})}{q/p_i^{\ell_i}}).
\]

 

 


 

References:

[1] 华罗庚 著, 王元 审校, 《华罗庚文集》(数论卷 I)

8. 存在无穷多个形如 $4n-1$ 和 $4n+1$ 的素数.

Posted by haifeng on 2020-01-15 22:34:57 last update 2020-01-15 22:34:57 | Answers (2) | 收藏


存在无穷多个形如 $4n-1$ 和 $4n+1$ 的素数.

 

这是关于形如 $4n\pm 1$ 的素数的 Dirichlet 定理.

 

References:

Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory.  《解析数论导引》第七章 Theorem 7.1. 世界图书出版公司.

9. 承认素数定理, 证明 $\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x-\gamma+o(1)$.

Posted by haifeng on 2018-09-30 21:29:52 last update 2018-09-30 21:29:52 | Answers (0) | 收藏


承认素数定理, 证明

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x-\gamma+o(1).
\]

 

Remark:

对比 Mertens 第一定理 (问题2168)

10. Mertens 第一定理

Posted by haifeng on 2018-09-30 21:25:26 last update 2018-09-30 21:30:42 | Answers (0) | 收藏


定理. (Mertens 第一定理) 对 $x\geqslant 2$, 有

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1).
\]

另外, 上式中的 $O(1)$ 项取值在开区间 $(-1-\ln 4, \ln 4)$ 中. 

注: $\ln 4\approx 1.38629$.

 

 

Remark:

对比 问题2169

 

 

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.8, P.15

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