Questions in category: 解析数论 (Analytic Number Theory)
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1. 承认素数定理, 证明 $\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x-\gamma+o(1)$.

Posted by haifeng on 2018-09-30 21:29:52 last update 2018-09-30 21:29:52 | Answers (0) | 收藏


承认素数定理, 证明

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p-1}=\ln x-\gamma+o(1).
\]

 

Remark:

对比 Mertens 第一定理 (问题2168)

2. Mertens 第一定理

Posted by haifeng on 2018-09-30 21:25:26 last update 2018-09-30 21:30:42 | Answers (0) | 收藏


定理. (Mertens 第一定理) 对 $x\geqslant 2$, 有

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1).
\]

另外, 上式中的 $O(1)$ 项取值在开区间 $(-1-\ln 4, \ln 4)$ 中. 

注: $\ln 4\approx 1.38629$.

 

 

Remark:

对比 问题2169

 

 

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.8, P.15

3. $\sum_{p\leqslant x}\frac{1}{p}$ 与 $\prod_{p\leqslant x}(1-\frac{1}{p})$ 的关系

Posted by haifeng on 2017-09-11 21:25:05 last update 2017-09-11 21:32:59 | Answers (1) | 收藏


令 $c_0=\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}\approx 0.315718$ (其收敛性的证明参见问题 2011), 则对 $x\geqslant 2$ 有

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{1}{p}=\ln\{\frac{1}{\prod_{p\leqslant x}(1-\frac{1}{p})}\}-c_0+\frac{\vartheta}{2(x-1)},
\]

其中 $\vartheta=\vartheta(x)\in ]0,1[$.

 

References:

 Gérald Tenenbaum, 解析与概率数论导引.  (P.17 定理 1.9)

4. 证明 $\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}$ 收敛

Posted by haifeng on 2017-09-11 21:19:38 last update 2018-09-30 20:55:22 | Answers (1) | 收藏


证明

\[
\sum_{p}\{\ln(\frac{1}{1-\frac{1}{p}})-\frac{1}{p}\}
\]

收敛.

 

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.9, P.17  

 


相关问题

问题 1705

5. [Thm](Nair,1982) 对于 $n\geqslant 7$, 有 $d_n\geqslant 2^n$.

Posted by haifeng on 2017-05-30 13:11:57 last update 2017-05-30 13:11:57 | Answers (1) | 收藏


[Thm](Nair,1982) 对于 $n\geqslant 7$, 有 $d_n\geqslant 2^n$.

 

 

这里 $d_n$ 是指 $1,2,3,\ldots,n$ 的最小公倍数. (参见问题1975)

6. 证明 $\pi(n)\geqslant\frac{\ln d_n}{\ln n}$, $(n\geqslant 2)$. 这里 $d_n$ 表示 $1,2,\ldots,n$ 的最小公倍数.

Posted by haifeng on 2017-05-30 11:01:52 last update 2017-05-30 11:01:52 | Answers (1) | 收藏


证明 $\pi(n)\geqslant\frac{\ln d_n}{\ln n}$, $(n\geqslant 2)$. 这里 $d_n$ 表示 $1,2,\ldots,n$ 的最小公倍数.

7. 证明: 对任意 $n > 1$, 有 $((8-4\ln 2)\ln n-16\ln\ln n +2)\ln\ln n > \ln n$

Posted by haifeng on 2017-05-29 23:17:17 last update 2017-05-29 23:23:04 | Answers (0) | 收藏


证明: 对任意 $n > 1$, 有

\[
((8-4\ln 2)\ln n-16\ln\ln n +2)\ln\ln n > \ln n
\]

8. 证明: $\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 4^n$, $\forall\ n\geqslant 1$.

Posted by haifeng on 2017-05-29 18:03:41 last update 2017-05-30 08:55:07 | Answers (1) | 收藏


证明: 对于 $n\geqslant 1$, 有

\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 4^n.\]

 

 


顺便回忆当 $n\geqslant 9$ 时,  $4^n < n!$.  (参见问题1094)

 

 

Hanson 于1972年证明了

\[\prod_{p\leqslant n}p\leqslant 3^n,\quad n\geqslant 2.\]

9. 证明 $p_n\leqslant 2^{2^n}$.

Posted by haifeng on 2017-05-29 16:21:49 last update 2017-05-29 17:33:15 | Answers (1) | 收藏


证明 $p_n\leqslant 2^{2^n}$.

 

[Hint] 利用 $p_{n+1}\leqslant 1+\prod_{1\leqslant j\leqslant n}p_j$, 而这是显然的.

使用归纳法证明.

10. Abel 变换

Posted by haifeng on 2017-05-29 15:26:34 last update 2017-05-29 16:02:55 | Answers (1) | 收藏


设 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 是两个复数列. 对任意 $N\in\mathbb{Z}$, $M\in\mathbb{N}^*$, 有

\[
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n=A_{N+M}b_{N+M+1}+\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n(b_n-b_{n+1}),
\]

其中 $A_n:=\sum_{N < m\leqslant n}a_m$, $n\geqslant 0$. 特别的, 若

\[
\sup_{N < n\leqslant N+M}|A_n|\leqslant A,
\]

$\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 非负且单调下降, 那么

\[
\biggl|\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n\biggr|\leqslant Ab_{N+1}.
\]

 

 

References:

G. 特伦鲍姆 著, 《解析与概率数论导引》,  陈华一  译.

 

Abel 求和 (参见问题1717)

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