问题

定理. (Mertens 第一定理) 对 $x\geqslant 2$, 有

\[
\sum_{p\leqslant x}\frac{\ln p}{p}=\ln x+O(1).
\]

另外, 上式中的 $O(1)$ 项取值在开区间 $(-1-\ln 4, \ln 4)$ 中. 

注: $\ln 4\approx 1.38629$.

Remark:

对比 问题2169

References:

G. 特伦鲍姆 (Gérald Tenenbaum) 著  《解析与概率数论导引》  定理 1.8, P.15