Questions in category: 行列式 (Determinant)
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1. 求行列式

Posted by haifeng on 2017-05-04 17:14:36 last update 2017-05-04 17:37:57 | Answers (2) | 收藏


求行列式

\[
D=\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -1 & -1 &\cdots & -1\\
-1 & \lambda-1 & -1 &\cdots & -1\\
-1 & -1 &\lambda-1 &\cdots & -1\\
\vdots &\vdots &\vdots  &\ddots & \vdots\\
-1 & -1 & -1 & \cdots &\lambda-1
\end{vmatrix}_{n}
\]


 

设 $c_i\neq 0, i=1,2,\ldots,n$. 求行列式

\[
D=\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -\frac{c_1}{c_2} & -\frac{c_1}{c_3} &\cdots & -\frac{c_1}{c_n}\\
-\frac{c_2}{c_1} & \lambda-1 & -\frac{c_2}{c_3} &\cdots & -\frac{c_2}{c_n}\\
-\frac{c_3}{c_1} & -\frac{c_3}{c_2} &\lambda-1 &\cdots & -\frac{c_3}{c_n}\\
\vdots &\vdots &\vdots  &\ddots & \vdots\\
-\frac{c_n}{c_1} & -\frac{c_n}{c_2} & -\frac{c_n}{c_3} & \cdots &\lambda-1
\end{vmatrix}_{n}
\]

 


这两个行列式都等于 $\lambda^{n-1}(\lambda-n)$.

2. 设 $a,b,c$ 是已知常数, $A_n$ 为 $n$ 阶方阵, $\beta\in\mathbb{R}^n$. 设 $|A_n|=a$, $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & b\end{vmatrix}=0$, 求 $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}$ 的值.

Posted by haifeng on 2016-10-07 08:42:15 last update 2016-10-07 08:42:15 | Answers (1) | 收藏


设 $a,b,c$ 是已知常数, $A_n$ 为 $n$ 阶方阵, $\beta\in\mathbb{R}^n$. 设 $|A_n|=a$, $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & b\end{vmatrix}=0$, 求 $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}$ 的值.

3. 设 $A_{m\times n}$, $B_{n\times m}$ 为实矩阵, 证明 $|I_m-AB|=|I_n-BA|$.

Posted by haifeng on 2016-04-04 22:25:47 last update 2016-04-04 22:26:48 | Answers (0) | 收藏


设 $A_{m\times n}$, $B_{n\times m}$ 为实矩阵, 证明

\[
\det(I_m-AB)=\det(I_n-BA)
\]

 

4. 求行列式

Posted by haifeng on 2016-04-03 21:20:32 last update 2016-04-03 21:20:32 | Answers (0) | 收藏


求行列式

\[
\begin{vmatrix}
a_1-b_1 & a_1-b_2 & \cdots & a_1-b_n\\
a_2-b_1 & a_2-b_2 & \cdots & a_2-b_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n-b_1 & a_n-b_2 & \cdots & a_n-b_n\\
\end{vmatrix}
\]

 


[Hint]

若记

\[
A=
\begin{pmatrix}
a_1-b_1 & a_1-b_2 & \cdots & a_1-b_n\\
a_2-b_1 & a_2-b_2 & \cdots & a_2-b_n\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n-b_1 & a_n-b_2 & \cdots & a_n-b_n\\
\end{pmatrix}
\]

则 $A$ 可以写成两个矩阵的乘积. 然后根据矩阵的秩可推出 $|A|=0$.

5. 设 $A_1,A_2,B_1,B_2$ 都是 $3\times 1$ 矩阵. 令 $A=(A_1,A_2,B_1)$, $B=(A_1,A_2,B_2)$. 假设 $|A|=2$, $|B|=3$, 求 $|A+2B|$.

Posted by haifeng on 2016-04-03 17:06:06 last update 2016-04-03 17:06:06 | Answers (1) | 收藏


设 $A_1,A_2,B_1,B_2$ 都是 $3\times 1$ 矩阵. 令 $A=(A_1,A_2,B_1)$, $B=(A_1,A_2,B_2)$. 即 $A,B$ 是由这些列向量组成的 $3\times 3$ 矩阵.

假设 $|A|=2$, $|B|=3$, 求 $|A+2B|$.

 

6. 计算行列式

Posted by haifeng on 2015-08-28 17:02:38 last update 2015-08-29 10:02:22 | Answers (1) | 收藏


计算行列式

\[
\begin{vmatrix}
0 & a & a & \cdots & a\\
b & 0 & a & \cdots & a\\
b & b & 0 & \cdots & a\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & a\\
b & b & b & \cdots & 0\\
\end{vmatrix}_n
\]


Hint

不妨设 $a\neq 0$. 否则行列式显然为 0. 记 $t=\frac{b}{a}$, 则原行列式等于

\[
a^n\cdot
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
t & 0 & 1 & \cdots & 1\\
t & t & 0 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1\\
t & t & t & \cdots & 0\\
\end{vmatrix}_n=:a^n\cdot D_n(t).
\]

$D_n(t)$ 是关于 $t$ 的多项式, 我们证明

\[
D_n(t)=(-1)^{n-1}(t+t^2+\cdots+t^{n-1}).
\]

7. 将 $\det(I_n+tA)$ 展开

Posted by haifeng on 2015-07-27 09:37:56 last update 2015-07-27 09:37:56 | Answers (1) | 收藏


将 $\det(I_n+tA)$ 展开

8. $\text{det}:\mathcal{M}(n,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ 是开映射或闭映射?

Posted by haifeng on 2015-06-05 14:31:52 last update 2015-06-05 15:28:41 | Answers (0) | 收藏


我们知道 $\text{det}:\mathcal{M}(n,\mathbb{R})\rightarrow\mathbb{R}$ 是连续映射, 请问 $\text{det}$ 是否是开映射或闭映射?

对于复矩阵呢?

 

设 $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}$, 且 $a,b,c,d\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 求 $|A|$ 的取值范围.

对于一般的 $n$ 阶方阵 $A_n=(a_{ij})_{n\times n}$, 如果每个元素 $a_{ij}\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 请问 $|A|$ 的取值范围是什么? 

 


[讨论]

设 $A$ 是 2 阶方阵, 则

\[
|A|=ad-bc,
\]

不妨先固定 $a$ 和 $d$, 则由于 $b,c\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, 故

\[
-\varepsilon^2 < bc < \varepsilon^2.
\]

于是 $ad-\varepsilon^2 < ad- bc < ad+\varepsilon^2.$

同理

\[
-\varepsilon^2 < ad < \varepsilon^2.
\]

因此有

\[
-2\varepsilon^2 < ad-bc < 2\varepsilon^2.
\]


 

如果 $A$ 是三阶方阵

\[
A=\begin{pmatrix}
a & b & c\\
u & v & w\\
x & y & z\\
\end{pmatrix}
\]

\[
|A|=a\begin{vmatrix}
v & w\\
y & z\\
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
u & w\\
x & z\\
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
u & v\\
x & y\\
\end{vmatrix}
\]

但不能由此推出 $|A|\in (-6\varepsilon^3, 6\varepsilon^3)$. 事实上, $|A|$ 是平行六面体的体积(带符号的). 于是当三个向量互相正交时, 体积达到最大.

\[
|A|\in(-2\sqrt{3}\varepsilon^3, 2\sqrt{3}\varepsilon^3).
\]

$f$ 为连续的闭映射当且仅当 $\forall A\subset X$, $\overline{f(A)}=f(\bar{A})$.

9. 用归纳法证明下面的行列式等式

Posted by haifeng on 2014-12-11 10:54:42 last update 2014-12-11 10:55:38 | Answers (1) | 收藏


\[
D_n=\begin{vmatrix}
\cos\alpha & 1 &  &  &  &  \\
1 & 2\cos\alpha & 1 &  &  & \\
 & 1 & 2\cos\alpha & 1 &  & \\
&  & \ddots & \ddots & \ddots  & \\
&  &  & \ddots & \ddots &  1\\
 & & & & 1 & 2\cos\alpha
\end{vmatrix}_n=\cos n\alpha
\]

10. 求行列式

Posted by haifeng on 2014-10-09 19:37:12 last update 2014-12-11 11:12:58 | Answers (1) | 收藏


求下面的行列式

\[
\begin{vmatrix}
1+a_1+b_1 & a_1+b_2 & \cdots & a_1+b_n\\
a_2+b_1 & 1+a_2+b_2 & \cdots & a_2+b_n\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
a_n+b_1 & a_n+b_2 & \cdots & 1+a_n+b_n\\
\end{vmatrix}
\]