问题及解答

设 $a,b,c$ 是已知常数, $A_n$ 为 $n$ 阶方阵, $\beta\in\mathbb{R}^n$. 设 $|A_n|=a$, $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & b\end{vmatrix}=0$, 求 $\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}$ 的值.

\[
\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T+0^T& b+(c-b)\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}A &\beta\\ \beta^T & c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}A &\beta\\ 0^T & c-b\end{vmatrix}=
(c-b)\cdot |A|=a(c-b).
\]