定理 (Mordell 定理)

设 $K$ 为数域, 则椭圆曲线 $E(K)$

\[
E/K:\ \ y^2=4x^3+g_2 x+g_3,\quad g_2, g_3\in K
\]

关于群运算构成有限生成 Abel 群.

对于 Abel 簇, 同样有相同的结论:

定理(Mordell-Weil 定理)

设 $K$ 为数域, 则 $K$ 上的 Abel 簇为有限生成 Abel 群.

参见

椭圆曲线的理论 - ——以Mordell定理为例 (ustc.edu.cn)

对三次曲线的研究最早始于艾萨克牛顿(Isaac Newton). 三次曲线的图像并不是一个椭圆. 称它们为椭圆曲线(elliptic curve), 是源自一类称为椭圆函数的积分, 这类积分的被积函数包含三次多项式的平方根.

对于椭圆曲线 $y^2=x^3+px+q$, 判别式 $\Delta=-16\bigl(4p^3+27q^2\bigr)$ 用于判别曲线的连通分支个数. 例如研究椭圆曲线 $y^2=4x^3-x=x(2x-1)(2x+1)$, 这里 $x,y\in\mathbb{R}$. $\Delta=-16\bigl(4\cdot(-1)^3+27\cdot 0^2\bigr)=64>0$, 因此有两个连通分支. 其函数图像如下

将右侧的曲线加上无穷远点, 则得到两个圆. 现在将这个函数中的变量 $x,y$ 视为复数, 不妨改记为 $z$ 和 $w$. 此时上面这个方程变为
\[
w^2=z(2z-1)(2z+1).
\]
这定义了一个复椭圆曲线, 证明其拓扑(在添加一无穷远点后)正好是一个环面(torus).

更准确地说, 我们应该能够将平面平铺成大小相等的平行四边形（称为周期平行四边形或基本平行四边形）, 这样每个图块上的图形部分是相同的.

以上翻译自 [1]

References:

[1] https://www.math.purdue.edu/~arapura/graph/elliptic.html

GTM228 序言中有这样一段话.

这本书解释了一个称为 Modularity Theorem 的结果:

All rational elliptic curves arise from modular forms.

所有有理椭圆曲线来自于模形式.

References:

Fred Diamond, Jerry Shurman, A First Course in Modular Forms. 模形式基础教程. GTM228.

BSD 猜想

BSD猜想（the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture，七大千禧数学难题之一）

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture

数论中的 BSD 猜想是指什么? - 知乎 (zhihu.com)

数学界有哪些未解之谜？ - 知乎 (zhihu.com)

本章的目的是对三次曲线(光滑的三次曲线也就是熟知的椭圆曲线)作一个介绍. 三次曲线比起圆锥曲线有丰富得多的结构. 数学中许多艰深的问题都与三次曲线的问题有关.

在介绍一些基本知识后, 我们将会展示每个三次曲线如何成为一个群的, 这指的是它上面的点可以相加. 没有其他类型的曲线有这个性质. 然后我们将看到存在许多不同的三次曲线, 即使在射影变换的意义下. 事实上, 我们将看到 there are a complex numbers worth of different cubics. 也就是, 我们可以在由复数决定的同构意义下参数化曲线. (这是与圆锥曲线不同的地方, 由于所有圆锥曲线在射影变换下都是相同的.)

接下来, 我们将看到, 作为曲面, 所有光滑三次曲线都是环面. 最后我们看到所有三次曲线是如何被视为商空间 $\mathbb{C}/\Lambda$ 的, 这里 $\Lambda$ 是 $\mathbb{C}$ 中的一个格(lattice).

[译自 Book]

[Book] Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach

设曲线 $\Sigma$ 为 $y^2=x^3-px-q$, $p,q\in\mathbb{R}$. 这里假设判别式

\[
\Delta=-16\bigl(4(-p)^3+27(-q)^2\bigr) < 0,
\]

从而曲线的图形只有一个连通分支.

记 $P=(x_1,y_1)$, $Q=(x_2,y_2)$. 过点 $P$ 和 $Q$ 的直线 $\ell$ 交曲线 $\Sigma$ 于唯一点 $R=(x_3,y_3)$.

证明:

\[
x_1+x_2+x_3=s^2,
\]

其中 $s$ 为直线 $\ell$ 的斜率, 即 $s=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/ellc04.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve