BSD 猜想

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture

本章的目的是对三次曲线(光滑的三次曲线也就是熟知的椭圆曲线)作一个介绍. 三次曲线比起圆锥曲线有丰富得多的结构. 数学中许多艰深的问题都与三次曲线的问题有关.

在介绍一些基本知识后, 我们将会展示每个三次曲线如何成为一个群的, 这指的是它上面的点可以相加. 没有其他类型的曲线有这个性质. 然后我们将看到存在许多不同的三次曲线, 即使在射影变换的意义下. 事实上, 我们将看到 there are a complex numbers worth of different cubics. 也就是, 我们可以在由复数决定的同构意义下参数化曲线. (这是与圆锥曲线不同的地方, 由于所有圆锥曲线在射影变换下都是相同的.)

接下来, 我们将看到, 作为曲面, 所有光滑三次曲线都是环面. 最后我们看到所有三次曲线是如何被视为商空间 $\mathbb{C}/\Lambda$ 的, 这里 $\Lambda$ 是 $\mathbb{C}$ 中的一个格(lattice).

[译自 Book]

[Book] Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach

设曲线 $\Sigma$ 为 $y^2=x^3-px-q$, $p,q\in\mathbb{R}$. 这里假设判别式

\[
\Delta=-16\bigl(4(-p)^3+27(-q)^2\bigr) < 0,
\]

从而曲线的图形只有一个连通分支.

记 $P=(x_1,y_1)$, $Q=(x_2,y_2)$. 过点 $P$ 和 $Q$ 的直线 $\ell$ 交曲线 $\Sigma$ 于唯一点 $R=(x_3,y_3)$.

证明:

\[
x_1+x_2+x_3=s^2,
\]

其中 $s$ 为直线 $\ell$ 的斜率, 即 $s=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/ellc04.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve