问题及解答

设曲线 $\Sigma$ 为 $y^2=x^3-px-q$, $p,q\in\mathbb{R}$. 这里假设判别式

\[
\Delta=-16\bigl(4(-p)^3+27(-q)^2\bigr) < 0,
\]

从而曲线的图形只有一个连通分支.

记 $P=(x_1,y_1)$, $Q=(x_2,y_2)$. 过点 $P$ 和 $Q$ 的直线 $\ell$ 交曲线 $\Sigma$ 于唯一点 $R=(x_3,y_3)$.

证明:

\[
x_1+x_2+x_3=s^2,
\]

其中 $s$ 为直线 $\ell$ 的斜率, 即 $s=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.