K3 曲面是现代代数几何的中心研究对象. 这个名称是由 André Weil 引入.  在 1958年发表的他的论文集中, 他写道:

il s'agit des variétés kählériennes dites K"; ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

"K3 surface" 第一次出现在发表的论文中似乎是 Kodaira 的文章中.

关于 K3 曲面的 Tate 猜想.

[1] Daniel Huybrechts, Lectures on K3 surfaces

定义: 

概型是指某个 ringed space $X,\mathcal{O}_X$, $X$ 中每个点存在一个邻域 $U$ 使得 ringed space $U,\mathcal{O}_{X}|_U$ 同构于某个环 $A$ 的 $\mathrm{Spec}A$.

A scheme is a ringed space $X,\mathcal{O}_X$ for which every point has a neighbourhood $U$ such that the ringed space $U,\mathcal{O}_{X}|_U$ is isomorphic to $\mathrm{Spec}A$, where $A$ is some ring.

参见 [1] P.28

References:

[1] Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 2. 

Chow 定理.   射影空间 $P_n(\mathbb{C})$ 中紧致解析簇是代数的.

这个定理发表于 1949年 [1].
  
根据这个定理, $P_n(\mathbb{C})$ 中的任意复子流形实际上是代数子流形. 故而, 将嵌入到 $P_n(\mathbb{C})$ 中的紧致复流形称为射影代数流形(projective algebraic manifold). (见[2], page 11.)

关于周炜良的介绍, 可参见

 Wei-Liang Chow (1911 - 1995) - Biography - MacTutor History of Mathematics (st-andrews.ac.uk)

References:

[1] Wei-Liang Chow, On compact complex analytic varieties, Amer. J. Math. 71 (1949), 893–914. MR 33093

[2] R. O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, GTM 65.

以下内容译自 Patrick J.R. Ryan [1] 的毕业论文 "The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem".  2015.

经典的 Riemann-Roch 定理是复分析和代数几何中的一个基础性结果. 其原始形式, 是由 Bernhard Riemann 和他的学生 Gustav Roch 在十九世纪中叶发展得出的. 此定理建立了紧致黎曼曲面的解析性质与拓扑性质之间的一个联系. 此联系源于曲面上亚纯函数之零点和极点到曲面亏格之间的相关数据. 1930年代, Friedrich Karl Schmidt 意识到对于任意代数闭域上的光滑射影曲线, 可以使用纯代数语言来证明.

定理. 设 $C$ 是代数闭域 $k$ 上的一条光滑射影曲线(smooth projective curve), 则对 $C$ 上任意因子 $D$, 我们有

\[
\ell(D)-\ell(K_C-D)=\deg(D)-g(C)+1,
\]

其中 $K_C$ 是 $C$ 的典范因子(canonical divisor), $g(C)$ 是 $C$ 的亏格. 对任意因子 $D$, $\deg(D)$ 指因子 $D$ 的阶(degree).

\[\ell(D)=\dim_k H^0(C,\mathcal{L}(C))\]

是相应 Riemann-Roch 空间的维数.

References:

[1] patrick.pdf (harvard.edu)

Congruence Subgroups

\[
\Gamma(N)=\{\gamma\in SL_2(\mathbb{Z})\mid \gamma\equiv 1_2\pmod N\}
\]

这里 $1_2$ 指二阶单位矩阵, 也即

\[
\Gamma(N)=\biggl\{
\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\in SL_2(\mathbb{Z})\biggl|\ a\equiv d\equiv 1,\ b\equiv c\equiv 0\ \mod N\mathbb{Z}
\biggr\}
\]

Congruence Subgroups 是指 $SL_2(\mathbb{Z})$ 中包含 $\Gamma(N)$ 的任一子群, $N$ 是某个自然数.

Math 252: Congruence Subgroups (wstein.org)

https://wstein.org/edu/Fall2003/252/lectures/09-19-03/index.html

Shimura varieties

模形式(modular forms)

模曲线(modular curves)

http://conference.bicmr.pku.edu.cn/meeting/index?id=95

解释:

设 $k$ 是代数闭域, 记 $A=k[x_1,\ldots,x_n]$. 对 $A$ 的任意子集 $T$, 定义

\[
V(T):=\{P\in\mathbb{A}_k^n\mid\text{对所有}\ f\in T, \text{有}\ f(P)=0\}.
\]

映射

\[
\begin{array}[rcl]
V:\ \{A\text{的理想}\}&\rightarrow&\{\mathbb{A}_k^n\text{中的代数集}\}\\
J&\mapsto& V(J)
\end{array}
\]

是满射. 这是因为任取 $\mathbb{A}_k^n$ 中一个代数集 $Y$, 根据代数集的定义, 存在 $T\subset A$, 使得 $V(T)=Y$. 对于 $T$, 考虑由其生成的理想 $J:=(T)$, 则有 $V(J)=V(T)$.

对每个子集 $X\subset\mathbb{A}_k^n$, 定义一个如下的理想:

\[
I(X):=\{f\in A\mid f(P)=0\ \forall\ P\in X\}
\]

由于 $A$ 是多项式环, 如此定义的 $I(X)$, 显然满足理想的定义. 于是得到下面的映射

\[
\begin{array}[rcl]
I:\ \{\mathbb{A}_k^n\text{的子集}\}&\rightarrow&\{A\text{中的理想}\}\\
X&\mapsto& I(X)
\end{array}
\]

Claim 1. $V$ 不是单射.

例: $(x_1,\ldots,x_n)$ 是有 $f_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.

若设 $m\in\mathbb{Z}^+$,  $(x_1^m,\ldots,x_n^m)$ 是有 $g_i(x_1,\ldots,x_n):=x_i^m$, $i=1,2,\ldots,n$ 生成的理想.

显然有 $(x_1^m,\ldots,x_n^m)\subset(x_1,\ldots,x_n)$.

于是 $V(x_1^m,\ldots,x_n^m)=V(x_1,\ldots,x_n)$. 因此 $V$ 不是单射.

References:

Klaus Hulek 著, 《初等代数几何》

引理. 设 $p,q\in\mathbb{C}[t]$ 互素. 如果有四个不同的比值 $\dfrac{\lambda}{\mu}\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 使得 $\lambda p+\mu q$ 为 $\mathbb{C}[t]$ 中的平方式, 则 $p,q\in\mathbb{C}$.

References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》P.8

尼尔(Neil)抛物线是指

\[
C:\quad y^2=x^3.
\]

这条曲线也可参数化, 即

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow&\mathbb{R}^2\\
t&\mapsto &(t^2,t^3)
\end{eqnarray}
\]

\[
\mathrm{d}\varphi=(\mathrm{d}\varphi_1,\mathrm{d}\varphi_2)=(2t\mathrm{d}t,3t^2\mathrm{d}t)
\]

从而 $\dfrac{\mathrm{d}\varphi_1}{\mathrm{d}\varphi_2}=\dfrac{2t\mathrm{d}t}{3t^2\mathrm{d}t}=\dfrac{2}{3t}$, 在 $t=0$ 处（也即原点处）为 $\infty$, 因此图像在原点处是“尖点”.

或者将 $x$ 看成 $y$ 的函数, $x=y^{2/3}$, 可见在 $y=0$ 处导数不存在. 这样也可解释图像在原点处是“尖点”.

References:

Klaus Hulek  著 《初等代数几何》P.6 

下面的一族平面三次曲线

\[
C_{\lambda}:\quad y^2=x(x-1)(x-\lambda),\qquad(\lambda\in\mathbb{R})
\]

除 $\lambda=0,1$ 外, $C_{\lambda}$ 在 $\mathbb{R}$ 上不能被有理参数化. 但是在 $\mathbb{C}$ 上, 有一个用亚纯函数的参数化.

为此, 先考虑更一般的形式:

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

这里要求 $f,g\in k(t)$ 是有理函数. $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$. 下面的命题表明, 如果有理函数 $f,g$ 满足上面的等式, 则 $f,g$ 一定是常数.

命题. 设 $f,g\in k(t)$ 是有理函数, $k\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, 并且满足

\[
g^2=f(f-1)(f-\lambda),\quad (\lambda\neq 0,1)
\]

则 $f$ 和 $g$ 为常数, 即 $f,g\in k$.

推论. 对于 $\lambda\neq 0,1$, 没有非常值的映射

\[
(f,g):\quad k\rightarrow C_{\lambda},\quad (f,g\in k(t))
\]

特别地, $C_{\lambda}(\lambda\neq 0,1)$ 无法被有理参数化.

关于 $C_0$ 和 $C_1$.

$C_0:\ y^2=x^3-x^2$

$C_1:\ y^2=x(x-1)^2$

(1)

$y^2=x^3+x^2$ 具有参数化: $t\mapsto(t^2-1, t^3-t)$. (参见问题1500)

因此, 仿照其做法, 令 $y=tx$, $x=t^2+1$, 从而 $y^2=t^2 x^2=(x-1)x^2=x^3-x^2$. 

因此 $C_0:\ y^2=x^3-x^2$ 的参数化方程是

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2+1, t^3+t)
\end{eqnarray}
\]

(2) 对于 $C_1$, 令 $u=x-1$, 则 $C_1$ 变为(右移为) $y^2=(u+1)u^2=u^3+u^2$, 此即问题1500.  

具有参数化 $t\mapsto(u=t^2-1, y=t^3-t)$. 因此 $C_1$ 的参数化方程为:

\[
\begin{eqnarray}
\varphi:\ \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}\\
t&\mapsto&(t^2, t^3-t)
\end{eqnarray}
\]

Question:

还有其他的例子吗? 即有没有其他的实曲线, 其不能被有理函数参数化?

Remark:

若 $A=a^p$, $B=b^p$, $C=c^p$, 且满足费马方程 $A+B=C$, 则 Gerhard Frey 椭圆曲线 (Gerhard Frey's elliptic curve)

\[y^2=x(x-A)(x+B)\]

具有判别式 $16(abc)^{2p}$. (参见[2], P.114)

References:

[1] Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》 高等教育出版社.

[2] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 科学出版社.