问题

\[
y^2=x^3+x^2
\]

画出此曲线的图像, 并给出其参数化表示.

[Hint]

首先观察到: 函数图像关于 $x$ 轴对称, 因为如果 $(x,y)\in G$, 则 $(x,-y)\in G$. 这里 $G$ 是图像.

其次, $x^3=y^2-x^2\geqslant -x^2$, 从而推出 $x\geqslant -1$.

(1) 当 $y\rightarrow\pm\infty$ 时, $x\rightarrow+\infty$.

(2) 设 $y=0$, 则有 $x^3+x^2=0$, 得 $x=0$ 或 $x=-1$.

(3) 设 $y > 0$, 且 $x > 0$, 则有 $y=x\sqrt{x+1}$,

(4) 设 $y > 0$, 且 $-1< x < 0$, 则有 $y=-x\sqrt{x+1}$.

该函数的参数化表示是: $t\mapsto(t^2-1,t^3-t)$.

References:

Klaus Hulek 著 《初等代数几何》 P.5 例题 0.4