问题

设 $G$ 是一个李群, $H$ 是 $G$ 的一个李子群.

(1) 记 $\overline{H}$ 是 $H$ 在 $G$ 中的闭包. 证明 $\overline{H}$ 是 $G$ 的一个子群.

(2) 对每个 $x\in\overline{H}$, 陪集 $Hx$ 在 $\overline{H}$ 中是开的, 稠密的.

(3) 证明 $\overline{H}=H$, 即, 每个李子群是闭的.

类似的问题请参见问题876.

Remark:

这里如果根据 (3) 李子群 $H$ 满足 $\overline{H}=H$, 则 (2) 中的陪集 $Hx$, $x\in\overline{H}$ 就是 $H$ 自身. 然而 $H$ 在 $\overline{H}$ 中是开稠的是显见的.

因此, 原题中(2)应指出“请不使用 (3) 的结论证明“.

References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Exercise 2.1