问题

对于足够大的 $n$, 有

\[n!=n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}(1+O(\frac{1}{n}))\]

一个简易但不是严谨的解释是这样的. 通常对于乘积, 分析起来往往先将之转化为和比较方便.

\[
\log n!=\sum_{k=1}^{n}\log k\approx\int_{1}^{n}\log tdt=(t\log t-t)|_{1}^{n}=n\log n-n+1
\]

因此

\[\log n!\approx n\log n -n\]

或者

\[n!\approx e^{n\log n-n}=\frac{n^n}{e^n}\]

References

Steven J. Miller and Ramin Takloo-Bighash, An invitation to modern number theory.