问题

\[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}\]

它可以改写为

\[\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1})\]

或者

\[\frac{\pi}{4}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{2n(2n+2)}{(2n+1)^2}\]

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n}\]

公式的获得来源于计算积分(问题43)

\[
I_m=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^m xdx,\quad J_m=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^m xdx,\quad (m\in\mathbb{Z}^+)
\]

这两个积分的计算要使用递推公式.

References

梅加强, 数学分析, 高等教育出版社.

Remark

有时, Wallis 不等式(问题711)可能更有用.

Ex. 由 Wallis 公式, 证明

\[
\frac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{4^n}{\sqrt{2n+1}}.
\]