问题

S. Banach [1] 和 H. Steinhaus 证明了奇点稠密原理(principle of condensation of singularities).

定理(S. Banach, H. Steinhaus): 设对每个 $p$, $\{T_{p,q}\}(q=1,2,\ldots)$ 是 Banach-空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_p$ 的一列有界线性算子. 这里 $p=1,2,\ldots$. 假设对于每个 $p$, 存在 $x_p\in X$, 使得 $\varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x_p\|=\infty$. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{q\rightarrow\infty}\|T_{p,q}x\|=\infty\quad\text{for all }p=1,2\ldots\big\} \]

是第二纲集.

这个定理要基于下面 S. Banach 的一个定理:

定理(S. Banach): 假设 $\{T_n\}$ 是 Banach 空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y_n$ 的一列有界线性算子. 则集合

\[ B=\big\{x\in X\mid \varlimsup\limits_{n\rightarrow\infty}\|T_{n}x\|<\infty\big\} \]

或者就等于 $X$, 或者是 $X$ 中的一个第一纲集.

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References:

Kôsaku Yosida(吉田 耕作), Functional Analysis, Sixth Edition. Springer-Verlag

[1] S. Banach, Théorie des Opérations Linéaires, Warszawa 1932.