设正整数 $n\geqslant 2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是实数. 设 $n$ 阶实方阵 \[ A=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1\\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n\\ \end{bmatrix}\ . \] 对线性空间 $V=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid X^T=X\}$, 定义线性变换 $F:\ V\rightarrow V$, $F(X)=AXA^T$. 求 $\mathrm{tr}(F)$ 和 $\det(F)$.
设正整数 $n\geqslant 2$, $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是实数. 设 $n$ 阶实方阵
\[
A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_1\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_2\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & a_3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & a_n\\
\end{bmatrix}\ .
\]
对线性空间 $V=\{X\in M_n(\mathbb{R})\mid X^T=X\}$, 定义线性变换 $F:\ V\rightarrow V$, $F(X)=AXA^T$. 求 $\mathrm{tr}(F)$ 和 $\det(F)$.
注: 此题为 2023年10月一试清华新领军第6题.