问题

证明: $\dfrac{1}{\sin^2 x}=\sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}\dfrac{1}{(x+k\pi)^2}$, $\forall\ x\neq k\pi$. 该级数在任何不包含 $\{k\pi\}$ 的闭区间上都是一致收敛的. 该级数也可改写为
\[
\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{x^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{1}{(x+n\pi)^2}+\frac{1}{(x-n\pi)^2}\Bigr],\quad x\neq k\pi.
\]

特别地, 令 $x\rightarrow 0$, 得
\[
\frac{1}{3}=\lim_{x\rightarrow 0}\Bigl(\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n\pi)^2},
\]\pause
由此推出
\[
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.
\]

参考 [1] P.319--320.

References:

[1] 梅加强 编著 《数学分析》.