问题

这里所讲的欧拉方程是一种特殊的变系数线性常微分方程, 其形式如下:

\[
y^{(n)}+\frac{a_1}{x}y^{(n-1)}+\frac{a_2}{x^2}y^{(n-2)}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{x^{n-1}}y'+\frac{a_n}{x^n}y=g(x).
\]

其中 $a_1, a_2, \ldots, a_n\in\mathbb{R}$. 两边乘以 $x^n$, 变为

\[
x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+a_2 x^{n-2}y^{(n-2)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_n y=f(x),
\]

其中 $f(x)=x^n g(x)$.

求解欧拉方程可以使用下面的变量代换法. 令 $x=e^t$, 从而 $t=\ln x$, 这里 $x > 0$. (如果 $x < 0$, 则令 $t=\ln(-x)$.) $y$ 变为 $t$ 的函数. 在这种变换下, 可以将欧拉方程变为常系数的线性方程.

我们计算 $y'$, $y''$, $y'''$ 如下, 这里约定 $'$ 是对 $x$ 求导, 若写为 $\dot{y}$, $\ddot{y}$, $\dddot{y}$, 则是关于 $t$ 求导.  注意 $t'_x=\frac{1}{x}$.

\[
y'=\dot{y}\cdot t'_x=\dot{y}\cdot\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad xy'=\dot{y}.
\]

等式 $xy'=\dot{y}$ 两边对 $x$ 再求导, 得

\[
\begin{split}
& y'+xy''=(\dot{y})'=\ddot{y}\cdot t'_x=\ddot{y}\cdot\frac{1}{x}\\
\Rightarrow\ & xy'+x^2 y''=\ddot{y}\\
\Rightarrow\ & x^2 y''=\ddot{y}-xy'\\
\Rightarrow\ & x^2 y''=\ddot{y}-\dot{y}.
\end{split}
\]

等式 $x^2 y''=\ddot{y}-\dot{y}$ 两边对 $x$ 再求导, 得

\[
\begin{split}
2x y''+x^2 y''' &=\dddot{y}\cdot t'_x-\ddot{y}\cdot t'_x\\
&=\dddot{y}\cdot\frac{1}{x}-\ddot{y}\cdot\frac{1}{x},
\end{split}
\]

这推出

\[
\begin{split}
&2x^2 y''+x^3 y'''=\dddot{y}-\ddot{y}\\
\Rightarrow\ & x^3 y'''=\dddot{y}-\ddot{y}-2x^2 y''\\
\Rightarrow\ & x^3 y'''=\dddot{y}-\ddot{y}-2(\ddot{y}-\dot{y})\\
\Rightarrow\ & x^3 y'''=\dddot{y}-3\ddot{y}+2\dot{y}.
\end{split}
\]

当然, 我们也可用传统记号直接运算, 如下:

\[
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},\\
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 x}&=-\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x^2}\biggl(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}^2 t}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\biggr),\\
\end{aligned}
\]

或简记 $y'(x)$ 为 $y'$, 而 $y(x)$ 对 $t$ 的导数必须指明下标, 如 $y'_t=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$. 

\[
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}^3 x}&=y'''_{x}=(-2)x^{-3}(y''_t-y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot t'_x-y''_t\cdot t'_x)\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t)+x^{-2}(y'''_t\cdot\frac{1}{x}-y''_t\cdot\frac{1}{x})\\
&=x^{-3}(-2y''_t+2y'_t+y'''_t-y''_t)\\
&=\frac{1}{x^3}(y'''_t-3y''_t+2y'_t)
\end{split}
\]

为进一步简化书写并利于运算, 引入记号 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$, $D^2$ 指 $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}$ 等等.  也即 $Dy=\dot{y}$, $D^2 y=\ddot{y}$, $D^3 y=\dddot{y}$.  容易证明 $D$ 是满足交换律和结合律的线性算子. 即

Claim 1.  $(D+a)(D+b)y=(D+b)(D+a)y$, 对任意 $a,b\in\mathbb{R}$.

Claim 2.  $(D+a)[(D+b)(D+c)]y=[(D+a)(D+b)](D+c)y$, $\forall\ a,b,c\in\mathbb{R}$.

于是之前得到的结果可以写为

\[
\begin{aligned}
xy'&=Dy,\\
x^2 y''&=(D^2-D)y=D(D-1)y,\\
x^3 y'''&=(D^3-3D^2+2D)y=D(D-1)(D-2)y.
\end{aligned}
\]

一般的, 可用归纳法证明

\[
x^k y^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots(D-k+1)y,\quad k=1,2,\ldots
\]

将这些项代入欧拉方程, 得

\[
D(D-1)(D-2)\cdots(D-n+1)y+a_1 D(D-1)(D-2)\cdots(D-n+2)y+\cdots+a_{n-3}D(D-1)(D-2)y^3+a_{n-2}D(D-1)y^2+a_{n-1}Dy+a_n y=f(x),
\]

也可简写为

\[
a_n y+\sum_{k=1}^{n}a_{n-k}D(D-1)(D-2)\cdots(D-k+1)y^{(k)}=f(x),
\]

其中 $a_0=1$. 这个方程是以 $t$ 为自变量得常系数线性微分方程. 求出通解后, 再将 $t$ 换为 $\ln x$, 便得到原方程得通解.