问题

设 $A$ 是 $n$ 阶幂等矩阵, 即满足 $A^2=A$. 证明:

• (1) $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n$.
• (2) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{tr}(A)$. 其中 $\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$, 称为矩阵 $A$ 的迹(trace).