问题

Def(幂等矩阵) 一个 $n$ 阶复矩阵 $A$ 若满足 $A^2=A$, 则称其为 $n$ 阶幂等矩阵.

易见, $A_n$ 幂等当且仅当 $I_n-A_n$ 幂等. 

命题. 设 $A$ 是 $n$ 阶幂等矩阵, 即满足 $A^2=A$. 则

• (1) $\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(I_n-A)=n$.
• (2) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{tr}(A)$. 其中 $\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$, 称为矩阵 $A$ 的迹(trace).