问题

已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

[hint]

本题实际上就是要确定函数 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上的最大最小值.