问题

设 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 是两个复数列. 对任意 $N\in\mathbb{Z}$, $M\in\mathbb{N}^*$, 有

\[
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n=A_{N+M}b_{N+M+1}+\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n(b_n-b_{n+1}),
\]

其中 $A_n:=\sum_{N < m\leqslant n}a_m$, $n\geqslant 0$. 特别的, 若

\[
\sup_{N < n\leqslant N+M}|A_n|\leqslant A,
\]

$\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 非负且单调下降, 那么

\[
\biggl|\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n\biggr|\leqslant Ab_{N+1}.
\]

References:

G. 特伦鲍姆 著, 《解析与概率数论导引》,  陈华一  译.

Abel 求和 (参见问题1717)