问题及解答

设 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 是两个复数列. 对任意 $N\in\mathbb{Z}$, $M\in\mathbb{N}^*$, 有

\[
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n=A_{N+M}b_{N+M+1}+\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n(b_n-b_{n+1}),
\]

其中 $A_n:=\sum_{N < m\leqslant n}a_m$, $n\geqslant 0$. 特别的, 若

\[
\sup_{N < n\leqslant N+M}|A_n|\leqslant A,
\]

$\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$ 非负且单调下降, 那么

\[
\biggl|\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n\biggr|\leqslant Ab_{N+1}.
\]

References:

G. 特伦鲍姆 著, 《解析与概率数论导引》,  陈华一  译.

Abel 求和 (参见问题1717)

根据 $A_n$ 的定义,

\[
\begin{aligned}
A_n&=a_{N+1}+a_{N+2}+\cdots+a_{n-1}+a_n,\\
A_{n-1}&=a_{N+1}+a_{N+2}+\cdots+a_{n-1},\\
\end{aligned}
\]

因此, $a_n=A_n-A_{n-1}$, 这里 $N < n\leqslant N+M$. 于是,

\[
\begin{split}
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n &=\sum_{N < n\leqslant N+M}(A_n-A_{n-1})b_n\\
&=\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n b_n-\sum_{N < n\leqslant N+M}A_{n-1} b_n\\
&=\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n b_n-\sum_{N-1 < n\leqslant N+M-1}A_{n} b_{n+1}\\
&=\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n b_n-\Biggl(\sum_{N < n\leqslant N+M}A_{n} b_{n+1}+A_{N} b_{N+1}-A_{N+M}b_{N+M+1}\Biggr)\\
&=\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n (b_n-b_{n+1})-A_{N} b_{N+1}+A_{N+M}b_{N+M+1}
\end{split}
\]

这里要注意到 $A_N$ 可以认为是 0. 所以

\[
\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n =A_{N+M}b_{N+M+1}+\sum_{N < n\leqslant N+M}A_n (b_n-b_{n+1}).
\]

现在 $b_n-b_{n+1}\geqslant 0$, $\forall\ n > N$. 于是由上面的不等式, 可得

\[
\begin{split}
\biggl|\sum_{N < n\leqslant N+M}a_n b_n \biggr|&\leqslant Ab_{N+M+1}+A\sum_{N < n\leqslant N+M}(b_n-b_{n+1})\\
&=Ab_{N+M+1}+A\Big[(b_{N+1}-b_{N+2})+(b_{N+2}-b_{N+3})+\cdots+(b_{N+M}-b_{N+M+1})\Bigr]\\
&=Ab_{N+1}.
\end{split}
\]