问题

$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间

设 $X$ 是一个拓扑空间, $\pi$ 是一个离散群. 如果 $X$ 的同伦群除 $\pi_n(X)=\pi$ 之外都等于 0, 则称 $X$ 是 $K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间.

显然, 对于 $n\geqslant 2$, 这样的空间如果存在, 则必须要求 $\pi$ 是交换群.

给定任意群 $\pi$, 若 $n\geqslant 2$, $\pi$ 是交换群, 则存在$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间. 并且这个空间可以被构造为一个 CW 复形.

任意两个$K(\pi,n)$ 型的 Eilenberg-MacLane 空间是弱同伦等价的(weakly homotyp equivalent).