三角函数系
\[
1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \ldots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \ldots
\]
记为 $\{\varphi_i(x)\}_{i=1}^{\infty}$. 则有
\[
\int_{-\pi}^{\pi}\varphi_i(x)\varphi_j(x)\mathrm{d}x=0,
\]
此即三角函数系的正交性.
称 $a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角多项式, $a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角级数.
设 $f(x)$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数, 令
\[
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x,\quad a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm{d}x,\quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm{d}x,
\]
称 $a_0,a_k,b_k$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 系数. 称
\[
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]
为函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数或 Fourier 展开. 记
\[
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]