问题

设 $W$ 为 $\mathbb{R}^{n+m}$ 中开集, $W$ 中的点用 $(x,y)$ 表示, 其中 $x=(x_1,\ldots,x_n)$, $y=(y_1,\ldots,y_n)$. $f:\ W\rightarrow\mathbb{R}^m$ 为 $C^k$ 映射,

\[
f(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y),\ldots,f_m(x,y)).
\]

设 $(x^0,y^0)\in W$, $f(x^0,y^0)=0$ 且 $\det Jf_y(x^0,y^0)\neq 0$, 其中

\[
Jf_y(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial y_j}(x,y)\biggr)_{m\times m},
\]

则存在 $x^0$ 的开邻域 $V\subset\mathbb{R}^n$, 以及唯一的 $C^k$ 映射 $g:\ V\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得

(1) $y^0=g(x^0)$, $f(x,g(x))=0$, $\forall\ x\in V$.

(2) $Jg(x)=-[Jf_y(x,g(x))]^{-1} Jf_x(x,g(x))$, 其中

\[
Jf_x(x,y)=\biggl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x,y)\biggr)_{m\times n},\quad (1\leqslant i\leqslant m,\ 1\leqslant j\leqslant n).
\]

References:

梅加强, 《数学分析》