问题

考虑光滑映射

\[
F:\ \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R},\quad F(x,y,z)=(x^2+y^2)^2+z^2.
\]

显然, 当 $p=(x,y,z)\neq \vec{0}$ 时, $\text{rank}_p F=1$. 因此根据常秩映射定理(参见问题1617), 当 $r > 0$ 时, $S_r=F^{-1}(r^2)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中正则子流形.

请验证所有的 $S_r$ 都和二维球面 $S^2$ 微分同胚.