图像流形(graph manifold)
设 $f: M\rightarrow N$ 为微分流形之间的光滑映射, 证明 $f$ 的图像(graph)
\[
\Gamma_f=\{(p,q)\in M\times N\mid f(p)=q\}
\]
为乘积流形 $M\times N$ 的正则子流形.
先证明特殊情形.
给定一光滑函数 $f:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 证明
\[
\Gamma_f=\text{graph}(f)=\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^{n+m}\mid x\in\mathbb{R}^n\}
\]
是 $\mathbb{R}^{n+m}$ 的一个正则子流形.