问题

对于 $x\in(-1,1)$, 有

\[
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+(n+1)x^n+\cdots
\]

\[
\frac{1}{(1-x)^3}=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+\cdots+\frac{(n+2)(n+1)}{2}x^n+\cdots
\]

将下面的函数在 $x=0$ 处作 Taylor 展开

\[
f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}
\]

关于 $f(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数, 参见问题2598

此外, 还可以从另一个观点导出上面的结果

\[
\begin{split}
\frac{1}{(1-x)^2}&=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-x}\\
&=(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)\cdot(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots)
\end{split}
\]