问题

给定一标准正交基 $e_1,\ldots,e_n$, 及一组向量 $a_1,\ldots,a_n$, 设 $e_i$ 和 $a_i$ 之间的夹角为 $\alpha_i,\
\forall i$. 证明: 如果有

\[
\cos\alpha_1+\cdots+\cos\alpha_n>\sqrt{n(n-1)},
\]

则向量 $a_1,\ldots,a_n$ 线性独立。