问题及解答

给定一标准正交基 $e_1,\ldots,e_n$, 及一组向量 $a_1,\ldots,a_n$, 设 $e_i$ 和 $a_i$ 之间的夹角为 $\alpha_i,\
\forall i$. 证明: 如果有

\[
\cos\alpha_1+\cdots+\cos\alpha_n>\sqrt{n(n-1)},
\]

则向量 $a_1,\ldots,a_n$ 线性独立。

不妨设这组 $n$ 维向量 $a_1,\ldots,a_n$ 都是单位向量. 记 $a_i=(a_{i1},\ldots,a_{in})^T$.

(反证法) 假设这 $n$ 个向量是线性相关的, 则矩阵

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\
\end{pmatrix}
\]

的秩小于 $n$. 所以这 $n$ 个行向量也是线性相关的. 从而存在不全为零的 $n$ 个数 $k_1,\ldots,k_n$, 使得

\[
\sum_{j=1}^{n}k_j a_{ij}=0,\quad\forall\ i=1,2,\ldots,n.
\]

我们可以设定使得这些 $k_i$ 满足 $\sum_{i=1}^n k_i^2=1$. 于是

\[
a_{ii}^2 k_i^2=\Bigl(\sum_{j\neq i}k_j a_{ij}\Bigr)^2\leqslant\Bigl(\sum_{j\neq i}k_j^2\Bigr)\Bigl(\sum_{j\neq i}a_{ij}^2\Bigr)=(1-k_i^2)(1-a_{ii}^2)
\]

因此, $k_i^2+a_{ii}^2\leqslant 1$, 即 $a_{ii}\leqslant\sqrt{1-k_i^2}$. 因此

\[
\sum_{i=1}^n a_{ii}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sqrt{1-k_i^2}\leqslant\sqrt{n}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(1-k_i^2)}=\sqrt{n(n-1)}.
\]

这里第二个不等号使用了不等式

\[
\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\leqslant\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}}.
\]

于是, 如果向量 $a_i$ 是线性相关的, 则 $\sum_{i=1}^n\cos\alpha_i=\sum_{i=1}^n a_{ii}\leqslant\sqrt{n(n-1)}$. 因此, 条件 $\sum_{i=1}^n\cos\alpha_i > \sqrt{n(n-1)}$ 推出此 $n$ 个向量是线性无关的.