问题

求不定积分

\[\int\frac{dx}{x(1+\sqrt[3]{x})^2}.\]

Hint.

令 $t=\sqrt[3]{x}$, 则 $x=t^3$, 从而原积分化为

\[
\int\frac{3t^2dt}{t^3(1+t)^2}=\int\frac{3dt}{t(1+t)^2},
\]

这是有理函数的不定积分, 令

\[
\frac{3dt}{t(1+t)^2}=\frac{a}{t}+\frac{bt+c}{(1+t)^2}+\frac{d}{1+t},
\]

当 $d=0$ 时, 可以得 $a=3$, $b=-3$, $c=-6$.