问题

(1) 证明: 当 $x,y\in[0,1]$ 时,

\[
\max\{xy,\ x+y-2xy,\ 1-x-y+xy\}\geqslant\frac{4}{9}.
\]

(2) 证明:  当 $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ 时,

\[
1+x+y+xy\leqslant (x+1)\ln(x+1)+e^y.
\]

【Hint】

第(2)题不宜令 $F(x,y)=(x+1)\ln(x+1)+e^y-(1+x)(1+y)$.

而应考虑函数 $f(x)=(x+1)\ln(x+1)-xy-x$