判断无理数的准则
一个显见的判定准则是
命题 1([1]). 设 $c$ 是正实数, 令 $0\leq R_n < 1$ 是由带余除法定义的余数:
\[nc=\lfloor nc\rfloor+R_n.\]
则 $c$ 是无理数当且仅当 $R_n > 0$ 对所有 $n\in\mathbb{N}$ 成立.
Remark: W. Koepf 和 D. Schmersau 在[1]中利用这个最基本的判定准则给出了 e 为无理数的另一个直接证明. 并且其方法可以应用到一系列满足特定条件的形如 $a=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{d_k}{k!}$ 的数上, 证明它们是无理数. 进而证明了 $\cosh 1=(e+e^{-1})/2$ 和 $\sinh 1=(e-e^{-1})/2$ 为无理数.
下面是比较难以理解的准则, 它们有多种形式, 但彼此等价.
命题 2([2]). 设 $\vartheta$ 是一实数, 则下面各条件等价.
(i) $\vartheta$ 是无理数.
(ii) 对任意 $\epsilon>0$, 存在有理数 $\frac{p}{q}$, 使得
\[0< \biggl|\vartheta-\frac{p}{q}\biggr|< \frac{\epsilon}{q}.\]
(iii) 对任意 $\epsilon>0$, 存在两个线性无关的双线性形式 $L_0, L_1$,
\[
L_0(X_0,X_1)=a_0X_0+b_0X_1,\quad L_1(X_0,X_1)=a_1X_0+b_1X_1,
\]
其中系数 $a_0,b_0,a_1,b_1$ 均为有理整数(rational integer, 即整数), 使得
\[\max\{|L_0(1,\vartheta)|,\ |L_1(1,\vartheta)|\}< \epsilon.\]
(iv) 对任意实数 $Q > 1$, 存在整数 $q$ ($1\leq q < Q$) 以及整数 $p$, 使得
\[
0 < \biggl|\vartheta-\frac{p}{q}\biggr|< \frac{1}{qQ}.
\]
(v) 存在无穷多的有理数 $\frac{p}{q}$, 使得
\[
\biggl|\vartheta-\frac{p}{q}\biggr| < \frac{1}{\sqrt{5}q^2}.
\]
(vi) 存在无穷多的有理数 $\frac{p}{q}$, 使得
\[
\biggl|\vartheta-\frac{p}{q}\biggr| < \frac{1}{q^2}.
\]
Def(好的有理数逼近) 对于数 $\beta$, 如果存在有理数 $\frac{p}{q}$, 使得
\[\biggl|\beta-\frac{p}{q}\biggr|<\frac{1}{q^2}\]
则称 $\beta$ 有好的有理数逼近(good rational approximations).
(vi) 比 (v) 弱, 但还是和其他所有的断言都等价. (vi) 说的就是, 如果数 $\beta$ 存在无穷多的好的有理数逼近, 则 $\beta$ 必定是无理数.
References:
[1] Wolfram Koepf, Dieter Schmersau, Irrationality of certain infinite series, Analysis 30, 27–34 (2010) / DOI 10.1524/anly.2010.0933
[2] Michel Waldschmidt, Criteria for irrationality, linear independence, transcendence and algebraic independence [PDF]