将平面上的 Laplace 方程改写为极坐标的形式
平面 $\mathbb{R}^2$ 上的 Laplace 方程如下:
\[
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
\]
将它写成极坐标的形式.
即, 若 $u=f(x,y)\in C^2$, 在极坐标变换 $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ 下, 二维拉普拉斯方程为
\[
\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2}.
\]