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一维 Cantor 集与 Cantor 函数

Posted by haifeng on 2013-01-08 23:56:34 last update 2013-01-09 00:05:09 | Answers (0) | 收藏


[Def](Devil\'s staircase/ Cantor function)

若函数 $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ 满足下述泛函条件

  1. $\frac{1}{2}\varphi(3x)+\frac{1}{2}\varphi(3x-2)\equiv\varphi(x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$;
  2. $\varphi|_{(-\infty,0]}\equiv 0$;
  3. $\varphi|_{[1,+\infty)}\equiv 1$.

则称 $\varphi|_{[0,1]}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 为 Devil\'s staircase 或 Cantor 函数.