问题及解答

求不定积分

\[\int\arctan^2\theta\mathrm{d}\theta=\int(\arctan\theta)^2\mathrm{d}\theta,\]

或写成 $x$ 的形式

\[\int(\arctan x)^2\mathrm{d}x.\]

令 $x=\arctan\theta$, 则 $\theta=\tan x$, 于是 

\[
\begin{split}
\int(\arctan\theta)^2\mathrm{d}\theta&=\int x^2\mathrm{d}\tan x=x^2\tan x-\int\tan x\mathrm{d}(x^2)\\
&=x^2\tan x-2\int x\tan x\mathrm{d}x\\
\end{split}
\]

利用通常的换元、分部积分都难以计算此不定积分, 于是尝试将被积函数的某一部分进行 Taylor 展开. 当然也可以尝试使用复变函数中的围道积分(即利用留数定理).

但是 $\tan x$ 的 Taylor 展开是比较困难的, 涉及Bernoulli 数. (下面的公式参见 OEIS-A000182)

\[
\tan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!},
\] 

其中

\[
a_n=\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2n},
\]

$B_n$ 为 Bernoulli 数.

我们写出其前几项

\[
\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots
\]

Remark: 关于 $\tan x$ 的高阶导数, 见问题2582 .

$\arctan x$ 的展开式为

\[
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
\]

这里 $x\in[-1,1]$.  (关于 $\arctan x$ 的高阶导数, 见问题2383, 2385, 2409, 2584.)

于是

\[
\begin{split}
(\arctan x)^2&=\Bigl(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\Bigr)\cdot\Bigl(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\Bigr)\\
&=x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{5}-\frac{x^8}{7}+\frac{x^{10}}{9}-\frac{x^{12}}{11}+\cdots\\
&\quad-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{9}-\frac{x^8}{3\cdot 5}+\frac{x^{10}}{3\cdot 7}-\frac{x^{12}}{3\cdot 9}+\cdots\\
&\qquad+\frac{x^6}{5}-\frac{x^8}{5\cdot 3}+\frac{x^{10}}{5\cdot 5}-\frac{x^{12}}{5\cdot 7}+\cdots\\
&\quad\qquad-\frac{x^8}{7}+\frac{x^{10}}{7\cdot 3}-\frac{x^{12}}{7\cdot 5}+\cdots\\
&=x^2-\frac{2}{3}x^4+(\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 1})x^6-(\frac{1}{1\cdot 7}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 3}+\frac{1}{7\cdot 1})x^8\\
&\qquad+(\frac{1}{1\cdot 9}+\frac{1}{3\cdot 7}+\frac{1}{5\cdot 5}+\frac{1}{7\cdot 3}+\frac{1}{9\cdot 1})x^{10}+\cdots
\end{split}
\]

这里 $x^{2m}$ 的系数为

\[
\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{(2n-1)(2m-(2n-1))}
\]

例如, 当 $m=4$ 时, $x^8$ 的系数为

\[
\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{(2n-1)(9-2n)}
\]

利用 Calculator 计算,

>> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
in> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
44|105
------------------------

因此,

\[
(\arctan x)^2=x^2-\frac{2}{3}x^4+\frac{23}{45}x^6-\frac{44}{105}x^8+\frac{563}{1575}x^{10}-\frac{3254}{10395}x^{12}+\frac{88069}{315315}x^{14}-\frac{11384}{45045}x^{16}+\frac{1593269}{6891885}x^{18}+\cdots
\]

======================================

附计算

Switch into fraction calculating mode.
e.g., 1/2+1/3 will return 5/6

>> in> sum(1/((2*n-1)*(7-2*n)),n,1,3)
23|45                        (23 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(9-2*n)),n,1,4)
44|105
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(11-2*n)),n,1,5)
563|1575                    (563 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(13-2*n)),n,1,6)
3254|10395
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(15-2*n)),n,1,7)
88069|315315            (88069 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(17-2*n)),n,1,8)
11384|45045
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(19-2*n)),n,1,9)
1593269|6891885      (1593269 is a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(21-2*n)),n,1,10)
15518938|72747675
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(23-2*n)),n,1,11)
31730711|160044885            (31730711 is NOT a prime)
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(25-2*n)),n,1,12)
186088972|1003917915
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(27-2*n)),n,1,13)
3788707301|21751554825
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(29-2*n)),n,1,14)
5776016314|35137127025
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(31-2*n)),n,1,15)
340028535787|2183521465125
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(33-2*n)),n,1,16)
667903294192|4512611027925
------------------------

>> in> sum(1/((2*n-1)*(35-2*n)),n,1,17)
10823198495797|76714387474725
------------------------