1. 设 $\alpha >0$, 证明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0$.
2. 设 $\alpha > 0$, $a > 1$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^{\alpha}}{a^n}=0$.
3. 设 $a > 0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$.
4. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.
5. 求极限 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.
Remark:
第 5 题参见问题685 或 Wallis 公式(问题702)
References:
梅加强 编著 《数学分析》, 高等教育出版社.
1
1. 用 $\varepsilon-N$ 语言证即可.
2.
[思考]
首先只需考虑 $\alpha > 1$ 的情况. 当 $0 < \alpha\leqslant 1$ 时, $n^{\alpha}\leqslant n$.
下设 $\alpha > 1$.
由于 $a > 1$, 故可写 $a=1+\beta$, $\beta > 0$. 于是
\[
a^n=(1+\beta)^n=1+n\beta+\frac{n(n-1)}{2}\beta^2+\cdots+\beta^n > \frac{n(n-1)}{2}\beta^2,
\]
\[
\frac{n^{\alpha}}{a^n}=\frac{n^{\alpha}}{(1+\beta)^n}< \frac{2n^{\alpha}}{n(n-1)\beta^2}
\]
直接这样放缩没有用. 注意到
\[
\frac{n^{\alpha}}{(1+\beta)^n}=\biggl[\frac{n}{\bigl((1+\beta)^n\bigr)^{1/\alpha}}\biggr]^{\alpha}=\biggl[\frac{n}{\bigl((1+\beta)^{1/\alpha}\bigr)^n}\biggr]^{\alpha}
\]
因此, 不妨令 $a^{1/\alpha}=1+\delta$, $\delta > 0$.
正式的证明如下:
Pf. 由于 $a > 1$, 故 $a^{\frac{1}{\alpha}} > 1$, 故可写 $a^{1/\alpha}=1+\delta$, $\delta > 0$.
于是
\[
a^{\frac{n}{\alpha}}=(1+\delta)^n=1+n\delta+\frac{n(n-1)}{2}\delta^2+\cdots+\delta^n > \frac{n(n-1)}{2}\delta^2.
\]
故
\[
0 < \frac{n^{\alpha}}{a^n}=\biggl[\frac{n}{a^{\frac{n}{\alpha}}}\biggr]^{\alpha}<\biggl[\frac{2}{(n-1)\delta^2}\biggr]^{\alpha}
\]
由夹逼原理及第1题, 知
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{\alpha}}{a^n}=0.
\]