求
\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\]
Remark
实际上, 有更详细的 Wallis 公式 (见问题702)
\[\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\biggl[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\biggr]^2\frac{1}{2n+1}\]
1
令
\[\begin{split}a_n&=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\ &=\frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\cdots\frac{2n-1}{2n}\\ &=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{6})\cdots(1-\frac{1}{2n})\end{split}\]
\[\begin{split}b_n&=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\ &=(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\cdots(1-\frac{1}{2n+1})\end{split}\]
则
\[\begin{split}a_n\cdot b_n&=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1-\frac{1}{7})\cdots(1-\frac{1}{2n})(1-\frac{1}{2n+1})\\ &=\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\cdots\frac{2n}{2n+1}\\ &=\frac{1}{2n+1}\rightarrow 0\end{split}\]
(以上是讲述如何想到的. 可能罗嗦了一点.)
直接的
\[a_n b_n=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{1}{2n+1}\rightarrow 0\]
另一方面, 易见 $a_n$, $b_n$ 均是严格递减数列, 且有下界 $0$. 故极限都存在. 不妨设为 $A,B$. 从而 $AB=0$. 因此 $A,B$ 中至少有一个是零.
但可以证明 $A\leq B\leq 2A$. 事实上,
\[a_n\leq b_n\leq 2 a_{n+1}\]
因此 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}b_n=0$.
或者更简单的, 由 $a_n\leq b_n$, 得
\[a_n^2\leq a_n b_n=\frac{1}{2n+1}\]
即推出 $a_n\rightarrow 0$.
推论:
\[\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=0\]