Questions in category: 有限群 (Finite Group)
代数 >> 群论 >> 有限群

1. [Def] n 个有限群的笛卡尔乘积

Posted by haifeng on 2011-08-19 08:21:41 last update 2011-08-19 10:58:53 | Answers (0) | 收藏


假设 $\Gamma_i=(X_i,\circ^i),\ i=1,2,\ldots,n$ 是 $n$ 个有限群, $\circ^i$ 是第 $i$ 个有限群的乘法. 它们的笛卡尔乘积定义为 $\Gamma=(X_1\times X_2\times\cdots\times X_n,\circ)$, 其中运算 $\circ$ 定义为

\[ (x_1,x_2,\ldots,x_n)\circ(y_1,y_2,\ldots,y_n)=(x_1\circ^1 y_1,x_2\circ^2 y_2,\ldots,x_n\circ^n y_n), \]

容易验证, 该定义是合理的.

2. Mathieu 单群

Posted by haifeng on 2011-08-17 14:36:51 last update 2011-08-17 14:36:51 | Answers (0) | 收藏


Mathieu 群 $M_i,\ i\in\{11,12,22,23,24\}$ 是由法国数学家 Émile Léonard Mathieu 于1861, 1873年发现的.

3. 有限群的例子(2元生成,6阶)

Posted by haifeng on 2011-08-14 17:01:41 last update 2011-08-14 17:01:41 | Answers (0) | 收藏


设 $G$ 由 $x,y$ 两个元素生成的有限群, 且满足下述关系

\[ x^3=y^2=e,\quad xy=yx^2, \]

请写出这个群.

4. 有限子群的判断

Posted by haifeng on 2011-08-14 16:27:25 last update 2011-08-14 16:27:25 | Answers (1) | 收藏


设 $H$ 是群 $G$ 的有限子集, 若 $H$ 关于群 $G$ 的乘法是封闭的, 即 $\forall\ a,b\in H$, 有 $a,b\in H$.

5. 置换群的性质

Posted by haifeng on 2011-08-14 16:06:45 last update 2011-08-14 16:53:27 | Answers (0) | 收藏


  • 任何一个 $n$ 元置换群都是 $n$ 元对称群的一个子群.
  • [Thm](Cayley)每个 $n$ 阶有限群都和一个 $n$ 元(次)置换群同构. (参见群的正则表示)

6. [Def]p-群

Posted by haifeng on 2011-08-10 10:35:38 last update 2011-08-10 10:35:38 | Answers (0) | 收藏


称一个有限群是 $p$-群, 如果其阶是 $p$ 的方幂.

7. [books]有限 p-群参考书

Posted by haifeng on 2011-08-09 15:41:03 last update 2011-08-09 15:41:54 | Answers (0) | 收藏


徐明耀, 曲海鹏. 有限 $p$-群

8. 有限群 $G$ 的极小正规子群 $N$ 必为同构单群的直积.

Posted by haifeng on 2011-08-09 15:13:30 last update 2011-08-09 15:13:30 | Answers (1) | 收藏


[提示] 证明 $N$ 必为特征单群, 然后利用定理: 有限特征单群 $G$ 是同构单群的直积

9. [Def]有限群的方次数

Posted by haifeng on 2011-08-08 15:49:02 last update 2011-08-08 15:49:02 | Answers (0) | 收藏


设 $G$ 是有限群, 我们称 $G$ 中所有元素阶的最小公倍数为 $G$ 的方次数, 记为 $\exp(G)$.

10. 【Thm】有限非空集合 $G$ 如果定义了一个二元算法, 且满足结合律和消去律, 则成为一个群.

Posted by haifeng on 2011-08-06 14:27:20 last update 2011-08-09 16:53:19 | Answers (0) | 收藏


注: 如果不是有限集, 二元运算只满足结合律和消去律是不足以成为一个群的. 如 $(\mathbb{Z}^+,+)$.